Lernzettel: Notions fondamentales sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Fonctions, image et antécédent
2. Courbe représentative d'une fonction
3. Lecture graphique des images et antécédents

📖 1. Fonctions, image et antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Une fonction associe à chaque nombre $x$ un unique nombre, appelé son image.
• Image : L’image de $x$ par une fonction $f$ est notée $f(x)$ et correspond au nombre obtenu après le procédé.
• Antécédent : Un antécédent de $y$ par une fonction $f$ est un nombre $x$ tel que $f(x)=y$.

📝 Points essentiels

• Dans l’écriture $f:x\mapsto f(x)$, $f$ désigne la fonction et $f(x)$ désigne le nombre image de $x$.
• Si un nombre $y$ a plusieurs antécédents, cela signifie qu’il existe plusieurs $x$ tels que $f(x)=y$.
• Un nombre $x$ ne peut avoir qu’une seule image par une fonction, puisque la fonction est définie avec unicité pour chaque $x$.
• Pour $g(x)=5x-7$, on a $g(3)=8$, donc $3$ est un antécédent de $8$ par $g$.

💡 Astuce mémo

Pense à $f$ comme une machine unique : pour un $x$ donné, la sortie $f(x)$ ne change pas.

📖 2. Courbe représentative d'une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation graphique : La représentation graphique d’une fonction $f$ est l’ensemble des points de coordonnées $(x;f(x))$ dans un repère.
• Courbe représentative : La courbe représentative d’une fonction $f$, notée $C_f$, est la visualisation de tous les couples $(x,f(x))$.
• Repère : Un repère sert à placer graphiquement les abscisses $x$ et les ordonnées $f(x)$ des points de la courbe.

📝 Points essentiels

• Les points de la courbe $C_f$ ont exactement pour coordonnées $(x;f(x))$ pour les valeurs de $x$ considérées.
• Pour $f(x)=0,25x^2$, on lit $f(-2)=1$ et $f(2)=1$ grâce à la valeur de $f(x)$ associée à chaque $x$.
• Pour $f(x)=0,25x^2$, on trouve $f(0)=0$ car l’ordonnée correspond à $0,25\times 0^2$.
• La courbe $C_f$ regroupe tous les points correspondant aux images $f(x)$, pas seulement quelques exemples.

💡 Astuce mémo

$(x;f(x))$ : la courbe est la liste “abscisse puis sa valeur”, écrite en points.

📖 3. Lecture graphique des images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Image graphique : Lire l’image d’un nombre $x$ sur une courbe consiste à trouver l’ordonnée du point de la courbe correspondant à $x$.
• Antécédent graphique : Lire un antécédent de $y$ consiste à trouver l’abscisse du point de la courbe dont l’ordonnée vaut $y$.
• Lecture par axes : La lecture graphique se fait en repérant d’abord une valeur sur un axe (abscisses ou ordonnées) puis l’autre coordonnée sur la courbe.

📝 Points essentiels

• Pour déterminer l’image de $x$ graphiquement : on place $x$ sur l’axe des abscisses puis on lit l’ordonnée correspondante.
• Pour déterminer les antécédents de $y$ graphiquement : on place $y$ sur l’axe des ordonnées puis on lit l’abscisse correspondante.
• Pour la fonction $f(x)=-\tfrac{1}{2}x+1$, la lecture donne $0,5$ image de $1$.
• Pour cette même fonction, la lecture donne $-1$ image de $4$ et $5$ antécédent de $-1,5$.

💡 Astuce mémo

Image = abscisse donnée → ordonnée lue ; Antécédent = ordonnée donnée → abscisse lue.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $f$ (la fonction) et $f(x)$ (un nombre), alors que $f$ n’est pas une valeur numérique.
2. Croire qu’un $x$ peut avoir plusieurs images : par définition, une fonction donne une seule image pour chaque $x.
3. Chercher directement l’antécédent d’un $y$ en lisant sur l’axe des abscisses, au lieu de placer $y$ sur l’axe des ordonnées.
4. Inverser les lectures : lire l’image en utilisant l’axe des ordonnées ou les antécédents en utilisant l’axe des abscisses.
5. Prendre l’ordonnée du bon point mais oublier que l’abscisse cherchée correspond exactement au $x$ dont $f(x)=y$.
6. Penser qu’un nombre $y$ a forcément un antécédent : un $y$ peut en avoir plusieurs ou aucun selon la courbe.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire et interpréter la notation $f:x\mapsto f(x)$ et distinguer $f$ de $f(x)$.
2. Savoir dire ce que signifie “$4$ est l’image de $(-2)$ par $f$” en utilisant $f(-2)=4$.
3. Savoir définir l’antécédent : reconnaître qu’“$x$ est antécédent de $y$” signifie $f(x)=y$.
4. Savoir utiliser la propriété d’unicité : un $x$ n’a qu’une seule image par une fonction.
5. Savoir utiliser la possibilité de non-existence ou de multiplicité des antécédents pour un $y$.
6. Savoir donner la définition de la représentation graphique : points $(x;f(x))$ dans un repère.
7. Savoir expliquer ce que représente la courbe $C_f$ et comment elle se construit à partir de $(x,f(x))$.
8. Savoir lire une image graphiquement : placer $x$ en abscisse puis lire l’ordonnée de la courbe.
9. Savoir lire des antécédents graphiquement : placer $y$ en ordonnée puis relever les abscisses correspondantes.
10. Savoir interpréter plusieurs antécédents possibles sur la courbe lorsque la lecture de $y$ coupe la courbe en plusieurs points.
11. Savoir exploiter un exemple de fonction donnée (ex : $g(x)=5x-7$) pour retrouver un antécédent ou une image à partir de $g(3)=8$.