Lernzettel: Opérations sur Intervalles et Représentations

📋 Plan du Cours

1. Intervalles et notations I et J
2. Union d’intervalles et cas ℝ
3. Intersection d’intervalles et intervalle vide
4. Lien inégalités et représentation graphique

📖 1. Intervalles et notations I et J

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Ensemble de nombres réels compris entre deux bornes, avec possibilité d’infini et de bornes incluses ou exclues.
• Notation [a ; b] : Intervalle fermé : il contient les bornes a et b quand elles sont réelles.
• Notation ]a ; b[ : Intervalle ouvert : il n’inclut ni a ni b.
• Notation ]-∞ ; b] : Intervalle non borné à gauche : il contient tous les x ≤ b, avec b inclus si la parenthèse est fermée.

📝 Points essentiels

• La notation utilise des crochets [ ] pour inclure une borne et des parenthèses ] [ pour l’exclure.
• Le symbole +∞ ou -∞ indique un intervalle qui s’étend sans limite dans la direction correspondante.
• Les exemples du cours fixent I et J comme deux intervalles à comparer pour calculer union ou intersection.
• Les bornes peuvent être des nombres négatifs, et les notations restent les mêmes (crochets/parenthèses) pour décider inclusion ou exclusion.

💡 Astuce mémo

Crochets = dedans, parenthèses = dehors.

📖 2. Union d’intervalles et cas ℝ

🔑 Notions clés & Définitions

• Union d’intervalles : Opération qui regroupe tous les nombres appartenant à au moins un des deux intervalles.
• ℝ : Ensemble des nombres réels, noté ℝ.

📝 Points essentiels

• Pour I = [1 ; 3] et J = ]0 ; 4[, on obtient I ∪ J = [1 ; 4[.
• Pour I = ]-∞ ; -2] et J = [5 ; +∞[, on obtient I ∪ J = ]-∞ ; +∞[.
• Le cours indique que ]-∞ ; +∞[ correspond à ℝ, donc l’union peut donner tout l’ensemble des réels.
• Quand les intervalles se recouvrent ou se touchent sans trou, l’union devient un intervalle unique (comme [1 ; 4[).

💡 Astuce mémo

Union = tout ce qui est dans I ou dans J (pas de trou).

📖 3. Intersection d’intervalles et intervalle vide

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection d’intervalles : Opération qui regroupe uniquement les nombres appartenant aux deux intervalles à la fois.
• Intervalle vide : Ensemble sans élément, noté ∅, qui apparaît quand deux intervalles n’ont aucun nombre commun.

📝 Points essentiels

• Le cours précise : si l’intervalle est vide, on note A ∩ B = ∅.
• Pour I = [-2 ; 5] et J = ]0 ; 7[, on obtient I ∩ J = ]0 ; 5].
• Pour I = ]-∞ ; -1] et J = [-5 ; -2], on obtient I ∩ J = [-5 ; -2].
• L’intersection prend les bornes communes : on garde la borne la plus grande côté gauche et la borne la plus petite côté droite, avec inclusion selon les crochets/parenthèses.

💡 Astuce mémo

Intersection = ce qui reste quand on garde seulement le “chevauchement” commun.

📖 4. Lien inégalités et représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité : Écriture qui compare un nombre x à une valeur via <, ≤, >, ≥.
• Représentation graphique d’un intervalle : Traduction visuelle d’une condition sur x par un segment coloré et des bornes incluses/exclues.
• Segment hachuré (ou coloré) : Zone graphique correspondant aux valeurs de x qui satisfont l’inégalité.

📝 Points essentiels

• L’inégalité -4 < x ≤ 3 se traduit par x ∈ [-4 ; 3] et correspond à un segment entre -4 et 3 avec -4 exclu et 3 inclus.
• L’inégalité -2 < x ≤ 5 se traduit par x ∈ ]-2 ; 5] et correspond à un segment entre -2 et 5 avec -2 exclu et 5 inclus.
• L’inégalité x ≥ 2 se traduit par x ∈ [2 ; +∞[ et correspond à un segment partant de 2 vers +∞ avec 2 inclus.
• L’inégalité x ≤ -3 se traduit par x ∈ ]-∞ ; -3] et correspond à un segment allant de -∞ jusqu’à -3 avec -3 inclus.

💡 Astuce mémo

< ou > : parenthèse ; ≤ ou ≥ : crochet.

📊 Tableaux de synthèse

Traduction inégalité ↔ intervalle

Inégalité	Intervalle	Type de borne
-4 < x ≤ 3	x ∈ [-4 ; 3]	-4 exclu, 3 inclus
-2 < x ≤ 5	x ∈ ]-2 ; 5]	-2 exclu, 5 inclus
x ≥ 2	x ∈ [2 ; +∞[	2 inclus, +∞ exclu
x ≤ -3	x ∈ ]-∞ ; -3]	-∞ exclu, -3 inclus

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre crochets et parenthèses : un crochet signifie inclusion, une parenthèse signifie exclusion.
2. Se tromper sur le sens des bornes avec les infinis : ]-∞ ; b] correspond à x ≤ b, pas à x ≥ b.
3. Oublier qu’en intersection, une borne incluse/exclue dépend des deux intervalles : la borne commune doit respecter les deux conditions.
4. Croire que l’union de deux intervalles toujours donne un intervalle unique : si un trou existe, l’union n’est pas forcément un seul intervalle (même si les exemples donnés ici donnent un intervalle unique).

✅ Checklist Examen

1. Savoir lire une notation d’intervalle (crochets/parenthèses, bornes finies ou ±∞) pour déterminer l’ensemble des x.
2. Savoir calculer I ∪ J à partir de deux intervalles et donner le résultat sous forme d’intervalle(s), y compris le cas où l’union vaut ℝ.
3. Savoir calculer I ∩ J à partir de deux intervalles et déterminer quand l’intersection est vide (∅).
4. Savoir traduire une inégalité en intervalle (et inversement) en respectant strictement les symboles <, ≤, >, ≥ et la représentation graphique associée.