Que la propriété est vraie au rang n₀
Erklärung
L’initialisation consiste à établir que P(n₀) est vraie au rang de départ. Sans cette étape, l’hérédité seule ne permet pas de conclure pour tous les rangs.
Pour tout n ≥ n₀, la vérité de P(n) entraîne celle de P(n + 1)
Erklärung
L’hérédité demande précisément que, pour tout entier n ≥ n₀, la vérité de P(n) implique celle de P(n + 1). Cela décrit la propagation de la propriété d’un rang au suivant.
Montrer que uₙ ≤ 10 pour tout entier naturel n
Erklärung
L’objectif annoncé est de prouver l’inégalité uₙ ≤ 10 pour tout entier naturel n. La relation de récurrence sert ensuite à vérifier que cette borne se conserve d’un rang au suivant.
uₙ₊₁ = 0,3uₙ + 7
Erklärung
La suite est définie par u₀ = 2 et la relation uₙ₊₁ = 0,3uₙ + 7. C’est cette formule qui permet de faire l’étape d’hérédité.
(1 + a)ⁿ ≥ 1 + na
Erklärung
L’inégalité de Bernoulli affirme que, pour a positif et tout entier naturel n, on a (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na. C’est exactement l’énoncé à démontrer par récurrence.
Parce que ka² est supérieur ou égal à 0
Erklärung
Comme a > 0 et k est naturel, on a ka² ≥ 0. On en déduit donc que 1 + (k + 1)a + ka² ≥ 1 + (k + 1)a, ce qui ferme l’hérédité.
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Principe de récurrence — définition ?
Méthode pour prouver une propriété pour tous n.
Suite récurrente — exemple ?
uₙ₊₁ = 0,3uₙ + 7, avec u₀ = 2.
Inégalité de Bernoulli — condition a ?
a > 0, pour tout n, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.
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