Lernzettel: Principe de récurrence et inégalités

📋 Plan du Cours

1. Principe de récurrence
2. Exemple de suite récurrente
3. Inégalité de Bernoulli

📖 1. Principe de récurrence

🔑 Notions clés & Définitions

• Propriété P(n) : Une propriété dépendant d’un entier naturel n, notée P(n), sur laquelle on veut établir une vraie formule pour tous les rangs.
• Hérédité à partir de n₀ : Condition où, pour tout n ≥ n₀, la vérité de P(n) entraîne la vérité de P(n + 1).
• Initialisation : Condition où P(n₀) est vraie pour un rang de départ n₀ donné.
• Axiome de récurrence : Règle disant qu’avec initialisation vraie et hérédité à partir de n₀, P(n) est vraie pour tout n ≥ n₀.

📝 Points essentiels

• La hérédité exige que pour tout entier naturel n ≥ n₀, P(n) vraie implique P(n + 1) vraie.
• Le principe de récurrence combine une initialisation P(n₀) vraie et une hérédité à partir de n₀.
• Si l’initialisation échoue, même une hérédité correcte ne suffit pas à conclure pour tous les rangs.
• La hérédité seule ne garantit pas la vérité : une propriété peut être héréditaire et fausse (exemple avec « 2ⁿ multiple de 3 »).

💡 Astuce mémo

Initialisation + Hérédité = propagation; sans l’amorce, la chaîne ne démarre pas.

📖 2. Exemple de suite récurrente

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite (uₙ) : Une suite définie par une règle de récurrence reliant uₙ₊₁ à uₙ.
• Récurrence de uₙ : Relation qui fixe uₙ₊₁ à partir de uₙ, ici uₙ₊₁ = 0,3uₙ + 7.

📝 Points essentiels

• La suite donnée vérifie u₀ = 2 et, pour tout n, uₙ₊₁ = 0,3uₙ + 7.
• L’objectif est de montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, on a l’inégalité uₙ ≤ 10.

💡 Astuce mémo

Objectif uₙ ≤ 10 : on suppose vrai au rang n puis on vérifie que la formule ramène encore sous 10 au rang n + 1.

📖 3. Inégalité de Bernoulli

🔑 Notions clés & Définitions

• Inégalité de Bernoulli : Inégalité affirmant que pour a réel positif, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour tout entier naturel n.
• Condition sur a : Hypothèse de positivité : a est un réel positif, ce qui permet d’utiliser 1 + a > 0 dans l’hérédité.

📝 Points essentiels

• L’énoncé à prouver est : pour a > 0, pour tout entier naturel n, (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na.
• Initialisation : pour n = 0, on obtient (1 + a)⁰ = 1 et 1 + 0·a = 1, donc la propriété est vraie au rang 0.
• Hérédité : si (1 + a)ᵏ ≥ 1 + ka, alors (1 + a)ᵏ⁺¹ = (1 + a)ᵏ(1 + a) ≥ (1 + ka)(1 + a) = 1 + (k + 1)a + ka².
• Comme ka² ≥ 0, on déduit 1 + (k + 1)a + ka² ≥ 1 + (k + 1)a, donc (1 + a)ᵏ⁺¹ ≥ 1 + (k + 1)a.

💡 Astuce mémo

Le terme ajouté ka² est non négatif, donc on garde le membre de gauche au moins aussi grand.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la hérédité avec l’initialisation : sans P(n₀) vraie, la conclusion pour tous les n ≥ n₀ est impossible.
2. Croire qu’une propriété héréditaire est forcément vraie : l’exemple « 2ⁿ multiple de 3 » montre que l’hérédité peut coexister avec une fausseté.
3. Oublier d’utiliser que 1 + a > 0 dans l’inégalité pendant l’étape d’hérédité de l’inégalité de Bernoulli.
4. Se tromper de rang dans la cible : vérifier P(k) au lieu de P(k + 1) fait échouer la chaîne logique.
5. Mauvais calcul du produit (1 + ka)(1 + a) : l’expansion attend 1 + (k + 1)a + ka².

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir ce que signifie que P(n) est héréditaire à partir de n₀.
2. Savoir énoncer l’axiome de récurrence avec les deux conditions : initialisation et hérédité.
3. Être capable d’identifier, dans une preuve, le rang d’initialisation n₀ et la forme exacte de l’hérédité.
4. Résoudre l’étape d’hérédité en remplaçant P(k) par son majorant/minorant dans l’expression de P(k + 1).
5. Connaître l’exemple : u₀ = 2 et uₙ₊₁ = 0,3uₙ + 7.
6. Savoir formuler l’objectif de l’exemple de récurrence : prouver uₙ ≤ 10 pour tout n naturel.
7. Pour l’inégalité de Bernoulli, vérifier l’hypothèse a > 0.
8. Savoir traiter l’initialisation n = 0 : (1 + a)⁰ = 1 et 1 + 0·a = 1.
9. Réaliser l’hérédité : passer de (1 + a)ᵏ ≥ 1 + ka à (1 + a)ᵏ⁺¹ ≥ 1 + (k + 1)a + ka².
10. Conclure à partir de ka² ≥ 0 que (1 + a)ᵏ⁺¹ ≥ 1 + (k + 1)a pour fermer la récurrence.
11. Conclure finalement que (1 + a)ⁿ ≥ 1 + na pour tout entier naturel n.