Principes fondamentaux de l'intégration en analyse

📋 Plan du Cours

1. Intégrale de Riemann
2. Sommes de Riemann
3. Continuité et intégrabilité
4. Propriétés élémentaires
5. Intégrales de fractions rationnelles
6. Intégrales de produits cosinus-sinus
7. Intégrales de Wallis
8. Intégrales généralisées
9. Critère de convergence

📖 1. Intégrale de Riemann

🔑 Notions clés & Définitions

Subdivision de [a,b] :
Une subdivision σ = (a_i)0≤i≤n d’un intervalle [a, b], avec a_0 = a, a_n = b, et a{i-1} < a_i pour tout i, est une famille finie de points de [a, b] permettant de découper l’intervalle en sous-intervalles.

Fonction en escalier :
Une fonction f : [a, b] → R est dite en escalier s’il existe une subdivision σ de [a, b] et des réels c_i tels que f ≡ c_i sur ]a_{i-1}, a_i[ pour chaque i, avec éventuellement une valeur fixée en chaque point a_i. Elle est donc constante par morceaux.

Intégrabilité au sens de Riemann :
Une fonction f : [a, b] → R est intégrable si, pour tout ε > 0, il existe deux fonctions en escalier φ_ε et ψ_ε telles que :

• |f − φ_ε| ≤ ψ_ε,
• R_b^a ψ_ε(x) dx < ε.
  Cela signifie que f peut être approchée arbitrairement bien par des fonctions simples en escalier, dont l’intégrale de l’erreur est aussi arbitrairement petite.