Lernzettel: Probabilités, Triangles et Périmètres

📋 Plan du Cours

1. QCM : probabilités et fonctions
2. Triangle rectangle et triangles semblables
3. Périmètres du rectangle et du carré
4. Hexagone et programmation Scratch
5. Factorisation et problèmes de lots

📖 1. QCM : probabilités et fonctions

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité : La probabilité d’un événement est un nombre entre 0 et 1 mesurant la chance que cet événement arrive.
• Médiane : La médiane d’une série ordonnée est la valeur centrale quand il y a un nombre impair de termes.
• Fonction affine : Une fonction affine s’écrit sous la forme $f(x)=ax+b$ et sa courbe est une droite.

📝 Points essentiels

• Dans l’urne de l’exercice, il y a 6 boules violettes sur 20 boules au total, donc $P(\text{violette})=6/20=3/10$.
• Calculer 70 % revient à multiplier par $0{,}7$ (donc la bonne proposition est celle égale à 0,70).
• Pour la série 7 ; 18 ; 12 ; 13 ; 15, l’étendue vaut $18-7=11$ et la médiane vaut 13.
• Pour une fonction affine représentée par la courbe donnée, choisir l’expression revient à identifier le sens (signe de $a$) et l’ordonnée à l’origine (valeur de $b$).

📖 2. Triangle rectangle et triangles semblables

🔑 Notions clés & Définitions

• Triangle rectangle : Un triangle rectangle possède un angle droit, donc il vérifie le théorème de Pythagore.
• Parallélisme : Deux droites parallèles ont la même direction et ne se coupent pas dans le plan.
• Triangles semblables : Des triangles semblables ont des angles deux à deux égaux et des côtés proportionnels.

📝 Points essentiels

• On sait que $CD=21{,}6$ et $CE=29{,}1$ avec $CDE$ rectangle en D, donc $DE=\sqrt{CE^2-CD^2}=19{,}5$ cm.
• L’aire du triangle rectangle $CDE$ vaut $\dfrac{CD\times DE}{2}$, donc $\mathcal{A}_{CDE}=\dfrac{21{,}6\times19{,}5}{2}=210{,}6\,\text{cm}^2$.
• Dans la suite, le logiciel donne $\mathcal{A}_{ABC}=23{,}4\,\text{cm}^2$ et on admet que $\triangle ABC$ et $\triangle EDC$ sont semblables pour retrouver des longueurs.
• Si deux triangles sont semblables, les longueurs correspondantes sont dans un même rapport, ce qui permet de déduire $AB$ à partir de $ED$ et de ce rapport d’échelle.

📖 3. Périmètres du rectangle et du carré

🔑 Notions clés & Définitions

• Périmètre d’une figure : Le périmètre est la somme des longueurs des côtés d’une figure fermée.
• Carré : Un carré possède 4 côtés de même longueur ; son périmètre est 4 fois la longueur d’un côté.
• Rectangle : Un rectangle possède 2 longueurs et 2 largeurs ; son périmètre est la somme des côtés opposés doublés.

📝 Points essentiels

• Quand $EFGH$ est un carré avec $EF=2x$, son périmètre vaut $4(2x)=8x$.
• Dans le rectangle $ABCD$ avec $AD=x$ et $AB=16-2x$, son périmètre vaut $2(AD+AB)=2(x+16-2x)=-2x+32$.
• Avec $x=1{,}5$ cm, le périmètre du carré vaut $8\times1{,}5=12$ cm et $AB=16-2\times1{,}5=13$ cm.
• L’égalité des périmètres revient à résoudre $-2x+32=8x$, ce qui donne $x=4$ (et le rectangle et le carré ont alors le même périmètre).

📖 4. Hexagone et programmation Scratch

🔑 Notions clés & Définitions

• Instruction répéter : L’instruction répéter effectue plusieurs fois le même bloc d’instructions, sans changer l’ordre interne.
• Triangle équilatéral : Un triangle équilatéral a 3 côtés égaux et 3 angles de 60°.
• Hexagone régulier : Un hexagone régulier a 6 côtés de même longueur et 6 angles identiques.

📝 Points essentiels

• Pour dessiner un motif basé sur un triangle équilatéral, le script doit construire un segment de longueur 50 pas puis enchaîner des rotations d’angle correspondant à la fermeture du triangle équilatéral.
• Le bon choix entre programme A et programme B dépend du fait que l’enchaînement produit la progression géométrique compatible avec la figure attendue (hexagone constitué de 6 triangles équilatéraux).
• Pour l’hexagone régulier de côté 50 pas, le bloc répéter doit être exécuté 6 fois pour parcourir les 6 côtés de l’hexagone.
• À chaque itération, l’instruction doit avancer de 50 pas et inclure une rotation qui respecte l’angle central de l’hexagone régulier (ce qui doit correspondre à 360° répartis sur 6).

📖 5. Factorisation et problèmes de lots

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit de facteurs premiers : Décomposer un nombre en produit de nombres premiers revient à l’écrire comme un produit de puissances de nombres premiers.
• PGCD : Le PGCD de deux entiers est le plus grand nombre qui divise chacun des deux.
• Pourcentage : Un pourcentage est une proportion exprimée sur 100 ; on peut le transformer en multiplicateur (ex. 15 % devient 0,15).

📝 Points essentiels

• Pour 300, le produit de facteurs premiers est $2\times 2\times 3\times 5\times 5\times 2?\,$ (comparé aux propositions), et la bonne proposition est celle qui contient exactement les nombres premiers avec leurs bonnes…
• $350=35\times10=5\times7\times2\times5=2\times5^2\times7$, donc la décomposition en facteurs premiers est $2\times 5^2\times 7$.
• Le nombre maximal de lots correspond au plus grand entier divisant à la fois 350 et 300, donc c’est le PGCD(350,300)=50 lots.
• Dans ce cas, chaque lot contient $350/50=7$ poissons de type A et $300/50=6$ poissons de type B.
• Pour l’aquarium, le volume d’eau est le volume du contenant multiplié par $4/5$ de la hauteur ; en utilisant $V=\text{Longueur}\times\text{Largeur}\times\text{Hauteur}$ pour le pavé droit, on compare les volumes d’eau…
• La réduction de 15 % sur le total revient à multiplier le prix total par $0{,}85$, donc avec 1 poisson à 15 € et l’aquarium à 40 €, paiement $=(15+40)\times0{,}85=46{,}75$ €.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre 70 % avec 7 % (le multiplicateur n’est pas le même).
2. Mélanger médiane et moyenne : avec 5 valeurs, la médiane est la valeur centrale après tri, pas la moyenne.
3. Utiliser le mauvais côté dans le théorème de Pythagore pour $DE$ : il faut bien identifier le côté opposé à l’angle droit.
4. Se tromper dans l’expression du périmètre du rectangle : $2(AD+AB)$ et pas $AB+AD+x$ ; ici $AB=16-2x$.
5. Résoudre l’égalité des périmètres en oubliant le signe : $-2x+32$ vient du rectangle, donc l’équation n’est pas $2x+32=8x$.
6. En lots, utiliser le produit au lieu du PGCD : le nombre maximal de lots est limité par le plus grand diviseur commun des quantités.
7. Pourcentages : appliquer 15 % directement au prix au lieu de passer par un multiplicateur sur le total (ici $\times0{,}85$).

✅ Checklist Examen

1. Calculer une probabilité dans une urne à partir du nombre de boules de chaque couleur.
2. Transformer un pourcentage en multiplicateur (ex. 70 % → $0{,}7$).
3. Trouver l’étendue et la médiane d’une série de 5 valeurs.
4. Identifier une fonction affine à partir de la forme $f(x)=ax+b$ (signe de $a$ et valeur de $b$).
5. Reconnaître un triangle rectangle et utiliser le théorème de Pythagore pour trouver une longueur.
6. Calculer l’aire d’un triangle rectangle avec $\dfrac{\text{côté1}\times\text{côté2}}{2}$.
7. Utiliser la proportion lors de la similitude de triangles pour déduire une longueur manquante.
8. Calculer le périmètre d’un carré de côté $2x$ puis celui d’un rectangle avec $AD=x$ et $AB=16-2x$.
9. Résoudre l’équation d’égalité des périmètres $-2x+32=8x$.
10. Savoir qu’un hexagone régulier se construit en parcourant 6 côtés : le bloc répéter doit être fait 6 fois.
11. En lots, décomposer (si besoin) et choisir le nombre maximal de lots via le PGCD.
12. Calculer la composition de chaque lot : division par le nombre de lots (types A et B).
13. Comparer un volume d’eau à un seuil en appliquant le facteur $4/5$ de la hauteur puis la conversion $1\,\text{dm}^3=1\,\text{L}$.
14. Calculer un prix après remise de 15 % : multiplier le total par $0{,}85$.