Lernzettel: Produit scalaire : notions et applications

📋 Plan du Cours

1. Définition du produit scalaire
2. Projection orthogonale et orthogonalité
3. Propriétés algébriques du produit scalaire
4. Produit scalaire en base orthonormée
5. Applications géométriques et formules

📖 1. Définition du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit scalaire : Le produit scalaire de deux vecteurs est un réel qui mesure leur similarité en tenant compte des normes et du cosinus de l’angle entre eux.
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires s’ils sont portés par une même droite, ce qui fixe l’angle entre eux à 0 ou à π selon le sens.
• Orthogonalité : Deux vecteurs sont dits orthogonaux si leur produit scalaire vaut 0, ce qui traduit une perpendicularité des directions.

📝 Points essentiels

• Pour des vecteurs non nuls $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$, on a $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|\,\cos\widehat{BAC}$.
• Si $\vec{u}=0$ ou si $\vec{v}=0$ alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=0$.
• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\,\|\vec{v\,}\|$ (car $\cos 0=1$).
• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de sens contraires alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=-\|\vec{u}\|\,\|\vec{v}\|$ (car $\cos\pi=-1$).
• Dans le triangle $ABC$ équilatéral de côté $a$, $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=a^2\cos(\angle ABC)$ et l’angle $\angle BAC$ est aigu si et seulement si $\cos(\angle BAC)>0$.
• Si $\angle BAC$ est aigu alors $\vec{u}\cdot\vec{v}>0$ et si $\angle BAC$ est obtus alors $\vec{u}\cdot\vec{v}<0$.

💡 Astuce mémo

Même droite, même signe : $\cos 0=1$ donne $+$, droite opposée : $\cos\pi=-1$ donne $-$.

📖 2. Projection orthogonale et orthogonalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Projection orthogonale : La projection orthogonale d’un vecteur sur une autre direction permet d’exprimer un produit scalaire sans connaître l’angle.
• Vecteurs orthogonaux : Deux vecteurs sont orthogonaux si et seulement si la mesure de l’angle entre leurs directions vaut $\pi/2$.
• Remplacement par un projeté : On peut remplacer un vecteur par son projeté orthogonal lorsque le produit scalaire est calculé avec l’autre vecteur.

📝 Points essentiels

• Si les angles ne sont pas connus, on peut calculer le produit scalaire via une projection orthogonale adaptée à la figure.
• Pour des points $A,B,C$, si $\overrightarrow{BA}$ est projeté orthogonalement sur $\overrightarrow{BC}$ alors $\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}=AH\,\cdot\,BC$ où $AH$ est la longueur de la projection orthogonale.
• Deux vecteurs $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\vec{v}=\overrightarrow{AC}$ sont orthogonaux si et seulement si les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont orthogonales.
• Pour trois points $A,B,C$, le produit scalaire de deux vecteurs peut être obtenu en remplaçant l’un d’eux par son projeté orthogonal sur l’autre.
• Si $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont orthogonaux alors le produit scalaire associé s’exprime directement à partir de cette orthogonalité.

💡 Astuce mémo

Projection = “hauteur” : le produit scalaire devient un produit de longueur par la longueur de l’autre direction.

📖 3. Propriétés algébriques du produit scalaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Linéarité en somme : Le produit scalaire d’un vecteur avec une somme se décompose en somme de produits scalaires.
• Homogénéité : Multiplier un vecteur par un réel revient à multiplier le produit scalaire par le même réel.
• Produits scalaires remarquables : Les identités algébriques sur $\,(u\pm v)\,$ permettent d’exprimer un produit scalaire à partir des normes.

📝 Points essentiels

• Pour tous vecteurs $\vec{u},\vec{v},\vec{w}$, on a $\vec{u}\cdot(\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}$.
• Pour tous vecteurs $\vec{u},\vec{w}$ et tout scalaire $\alpha$, on a $\vec{u}\cdot(\alpha\vec{u})=\alpha(\vec{u}\cdot\vec{u})$.
• On a la formule $(\vec{u}+\vec{v})^2=\|\vec{u}\|^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$.
• On a la formule $(\vec{u}-\vec{v})^2=\|\vec{u}\|^2-2\vec{u}\cdot\vec{v}+\|\vec{v}\|^2$.
• On a $(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})=\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2$.
• Ces identités permettent aussi d’obtenir des expressions du produit scalaire quand l’angle n’est pas exploitable via la projection orthogonale.

💡 Astuce mémo

Identités “carré” : $+$ donne $+2\,u\cdot v$ et $-$ donne $-2\,u\cdot v$.

📖 4. Produit scalaire en base orthonormée

🔑 Notions clés & Définitions

• Base orthonormée : Une base orthonormée est un repère où les vecteurs de base sont orthogonaux et de norme 1.
• Coordonnées du vecteur : Dans une base orthonormée, un vecteur s’écrit avec des coefficients qui traduisent ses composantes.
• Norme via coordonnées : Dans une base orthonormée, la norme d’un vecteur se calcule à partir de ses coordonnées.

📝 Points essentiels

• Dans une base orthonormée, si $\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}$ et $\vec{v}=x'\vec{i}+y'\vec{j}$ alors $\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'$.
• Dans cette même base, on obtient $\|\vec{u}\|^2=x^2+y^2$.
• Pour un exemple, si $\vec{u}=\frac13(x+1)^3-2x-3=-1$ alors $\|\vec{u}\|^2=2+(-7)^2=5$ en utilisant la lecture fournie des coordonnées dans l’énoncé.

💡 Astuce mémo

Même axe, même composante : le produit scalaire devient $xx'+yy'$.

📖 5. Applications géométriques et formules

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul parallèle à une droite, donc utilisé pour décrire sa direction.
• Vecteur normal : Un vecteur normal est perpendiculaire à une droite et sert à caractériser sa position par orthogonalité.
• Cercle de diamètre : Le cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
• Formule d’Al Kashi : L’égalité d’Al Kashi relie les côtés d’un triangle à un angle via une expression mettant en jeu un cosinus.
• Ligne de niveau : Une ligne de niveau est l’ensemble des points vérifiant une même valeur fixée pour une expression comme $MA^2+MB^2$ ou $MA\cdot MB$.

📝 Points essentiels

• Pour une droite $(D)$, un vecteur directeur est un vecteur non nul orthogonal à un vecteur normal à $(D)$.
• Pour deux points distincts $A$ et $B$, le cercle de diamètre $[AB]$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
• Dans un repère, l’équation d’un cercle de centre $A(x_A,y_A)$ et de rayon $R>0$ est $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=R^2$.
• Dans un triangle $ABC$ avec $BC=a$, $AB=c$ et $AC=b$, la formule d’Al Kashi s’écrit $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$.
• On a aussi les versions $b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$ et $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
• Si $I$ est le milieu de $[AB]$ alors $(MA)^2+(MB)^2=2MI^2+\frac12 AB^2$ et $MA\cdot MB=MI^2-\frac14 AB^2$, et les ensembles $\{MA^2+MB^2=k\}$ et $\{MA\cdot MB=k\}$ sont des lignes de niveau.

💡 Astuce mémo

Cercle de diamètre : produit scalaire nul, donc angle droit au point $M$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $\vec{u}\cdot\vec{v}$ avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ : si l’un des deux vecteurs est nul, le produit scalaire vaut toujours 0.
2. Oublier le signe des colinéarités : même sens donne $+$, sens contraires donne $-$ à cause de $\cos 0$ et $\cos\pi$.
3. Utiliser une formule nécessitant l’angle alors qu’on ne le connaît pas : dans ce cas, préférer la projection orthogonale ou les identités en normes.
4. Se tromper sur la base orthonormée : la formule $xx'+yy'$ suppose bien que la base est orthonormée.
5. Mélanger “cercle de diamètre” avec un cercle quelconque : ici la caractérisation est exactement $\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0$.
6. Intervertir les correspondances $a,b,c$ dans Al Kashi : $a$ est $BC$, $b$ est $AC$, $c$ est $AB$.
7. Confondre les expressions de médiane : $(MA)^2+(MB)^2$ n’est pas égal à $2MI^2+AB^2$ mais contient le facteur $\frac12$ devant $AB^2$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire la définition du produit scalaire avec normes et $\cos$ de l’angle entre les vecteurs.
2. Savoir déduire le signe de $\vec{u}\cdot\vec{v}$ quand l’angle est aigu ou obtus.
3. Savoir calculer $\vec{u}\cdot\vec{v}$ quand $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires de même sens ou de sens contraire.
4. Savoir déterminer quand deux vecteurs sont orthogonaux à partir de l’orthogonalité des droites correspondantes.
5. Savoir utiliser une projection orthogonale pour calculer un produit scalaire sans connaître l’angle.
6. Savoir appliquer la linéarité du produit scalaire en somme : $\,u\cdot(v+w)=u\cdot v+u\cdot w$.
7. Savoir appliquer l’homogénéité : multiplier un vecteur par $\alpha$ multiplie le produit scalaire par $\alpha$.
8. Savoir utiliser les identités remarquables pour $(u+v)^2$, $(u-v)^2$ et $(u+v)\cdot(u-v)$.
9. Savoir calculer $u\cdot v$ et $\|u\|^2$ dans une base orthonormée via les coordonnées.
10. Savoir reconnaître et écrire l’équation d’un cercle à partir de son centre et de son rayon : $(x-x_A)^2+(y-y_A)^2=R^2$.
11. Savoir énoncer et appliquer la formule d’Al Kashi avec $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$ et ses deux analogues.
12. Savoir utiliser les formules de la médiane : $(MA)^2+(MB)^2=2MI^2+\frac12 AB^2$ et $MA\cdot MB=MI^2-\frac14 AB^2$.
13. Savoir caractériser les lignes de niveau à partir des ensembles $MA^2+MB^2=k$ et $MA\cdot MB=k$.