Lernzettel: Résolution de systèmes linéaires à deux inconnues

📋 Plan du Cours

1. Systèmes de deux équations à deux inconnues
2. Méthode de substitution pour résoudre un système
3. Méthode des combinaisons linéaires
4. Résolution graphique d’un système à une solution
5. Système sans solution : droites parallèles
6. Système avec infinité de solutions : droites confondues

📖 1. Systèmes de deux équations à deux inconnues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système de deux équations : Un système de deux équations à deux inconnues est un ensemble de deux équations qui doivent être vérifiées simultanément par les mêmes valeurs de $x$ et $y$.
• Deux inconnues : Deux inconnues sont les variables $x$ et $y$ dont on cherche les valeurs qui satisfont toutes les équations du système.
• Solution du système : Une solution du système est un couple $(x;y)$ qui vérifie en même temps les deux équations.
• Ensemble des solutions : L’ensemble des solutions, noté $S$, regroupe tous les couples $(x;y)$ qui satisfont le système.

📝 Points essentiels

• Un couple $(x;y)$ est solution si chaque équation devient vraie quand on remplace $x$ et $y$ par ces valeurs.
• On écrit un système sous la forme de deux égalités alignées, par exemple $2x-y=0$ et $3x-4y=-5$.
• Le système peut avoir une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions selon la position des droites associées.
• Dans l’exemple $2x-y=0$ et $3x-4y=-5$, le couple $(1;2)$ vérifie bien les deux équations.
• La notation $S=\{(x;y)\}$ est utilisée quand il n’y a qu’un seul couple solution.

💡 Astuce mémo

Solution = couple qui rend les deux équations vraies en même temps.

📖 2. Méthode de substitution pour résoudre un système

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode de substitution : La méthode de substitution consiste à isoler une inconnue dans une équation puis à la remplacer dans l’autre équation.
• Isolation d’une inconnue : Isoler une inconnue, c’est réécrire une équation sous la forme $x=\text{expression en }y$ ou $y=\text{expression en }x$.
• Substitution : La substitution est l’étape où l’expression isolée est remplacée dans l’autre équation pour obtenir une équation à une seule inconnue.
• Résolution finale : La résolution finale est l’étape où l’on trouve la valeur restante puis on remonte pour obtenir l’autre inconnue.

📝 Points essentiels

• On choisit une équation où une inconnue s’isole facilement pour éviter des calculs trop compliqués.
• On isole par exemple $x$ dans l’équation $x-4y=14$ pour obtenir $x=14+4y$.
• On remplace ensuite $x$ par $14+4y$ dans l’autre équation, ici $3x+2y=0$.
• On obtient une équation ne contenant plus qu’une seule inconnue, par exemple $14y=-42$.
• On remonte pour trouver l’autre inconnue, ici $x=14+4\times(-3)=2$.
• On conclut avec le couple solution et la notation $S=\{(2;-3)\}$.

💡 Astuce mémo

Substitution = isoler puis remplacer : isoler $\rightarrow$ remplacer $\rightarrow$ résoudre.

📖 3. Méthode des combinaisons linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Méthode des combinaisons linéaires : La méthode des combinaisons linéaires consiste à modifier et combiner les deux équations pour éliminer une inconnue.
• Élimination d’une inconnue : L’élimination d’une inconnue est le fait de transformer le système pour que cette inconnue disparaisse après addition ou soustraction.
• Multiplication d’une équation : Multiplier une équation par un nombre non nul permet d’obtenir le même ensemble de solutions tout en ajustant les coefficients.
• Addition ou soustraction d’équations : Additionner ou soustraire les équations permet d’obtenir une nouvelle équation plus simple, souvent à une seule inconnue.

📝 Points essentiels

• On cherche à obtenir le même coefficient devant une inconnue dans les deux équations avant de combiner.
• Pour le système $3x-2y=11$ et $6x+3y=15$, on multiplie la première équation par $2$ pour obtenir $6x-4y=22$.
• On soustrait ensuite les équations pour éliminer $x$ et obtenir une équation en $y$, ici $-7y=7$ donc $y=-1$.
• On remplace la valeur trouvée dans une des équations pour obtenir $x$, ici $3x+2=11$ donc $x=3$.
• Pour le système $3x-2y=7$ et $5x+3y=-1$, on multiplie la première par $5$ et la seconde par $3$ pour aligner les coefficients de $x$.
• On soustrait pour éliminer $x$ et trouver $y=-2$, puis on remonte pour obtenir $x=1$, donc $S=\{(1;-2)\}$.

💡 Astuce mémo

Combinaisons linéaires = aligner les coefficients puis additionner/soustraire pour faire disparaître une inconnue.

📖 4. Résolution graphique d’un système à une solution

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution graphique : La résolution graphique consiste à représenter les deux équations sous forme de droites puis à lire leur intersection dans un repère.
• Équation de droite : Une équation du type $ax+by=c$ peut être réécrite sous la forme $y=mx+p$ pour tracer la droite correspondante.
• Point d’intersection : Le point d’intersection de deux droites est le couple $(x;y)$ qui vérifie simultanément les deux équations.
• Solution unique : Une solution unique correspond à un seul point d’intersection entre les deux droites associées.

📝 Points essentiels

• On réécrit chaque équation sous la forme $y=\text{expression en }x$ pour identifier deux droites à tracer.
• Pour $-2x+y=0$, on obtient $y=2x$.
• Pour $4x-y=4$, on obtient $y=4x-4$.
• La solution du système est le couple correspondant au point d’intersection des deux droites.
• Par lecture graphique, l’intersection donne $(2;4)$ pour ce système.
• On note alors $S=\{(2;4)\}$.

💡 Astuce mémo

Intersection des droites = couple solution.

📖 5. Système sans solution : droites parallèles

🔑 Notions clés & Définitions

• Système sans solution : Un système sans solution est un système pour lequel aucun couple $(x;y)$ ne vérifie simultanément les deux équations.
• Droites parallèles : Des droites parallèles ont le même coefficient directeur et ne se coupent pas.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le facteur de $x$ dans l’écriture $y=mx+p$, qui détermine la pente de la droite.
• Ensemble vide : L’ensemble vide, noté $S=\varnothing$, signifie qu’il n’existe aucun couple solution.

📝 Points essentiels

• On transforme les équations pour obtenir deux formes $y=mx+p$ et comparer les coefficients directeurs.
• Pour $-3x+y=1$, on obtient $y=3x+1$.
• Pour $6x-2y=6$, on obtient $y=-6x+6$ puis on simplifie pour obtenir une forme équivalente $y=3x-3$.
• Les deux droites ont le même coefficient directeur, donc elles sont strictement parallèles.
• Des droites parallèles n’ont pas de point d’intersection, donc le système n’a pas de solution.
• On conclut par $S=\varnothing$.

💡 Astuce mémo

Même pente (même coefficient directeur) + pas de croisement = aucune solution.

📖 6. Système avec infinité de solutions : droites confondues

🔑 Notions clés & Définitions

• Système avec infinité de solutions : Un système avec infinité de solutions admet une infinité de couples $(x;y)$ qui vérifient simultanément les deux équations.
• Droites confondues : Des droites confondues sont deux droites qui ont la même équation, donc tous leurs points sont communs.
• Équation identique : Une équation identique signifie que les deux équations se réduisent à la même relation entre $x$ et $y$.
• Infinité de points d’intersection : Avoir une infinité de points d’intersection signifie que les deux droites se superposent et se coupent en une infinité de points.

📝 Points essentiels

• On met les deux équations sous la forme $y=mx+p$ pour comparer leur équation finale.
• Pour $-6x-3y=-6$, on obtient une relation équivalente $y=-2x+2$.
• Pour $2x+y=2$, on obtient aussi $y=-2x+2$.
• Comme les deux droites ont la même équation, elles sont confondues.
• Deux droites confondues ont une infinité de points d’intersection.
• Le système admet donc une infinité de solutions, tous les couples $(x;y)$ vérifiant $y=-2x+2$.

💡 Astuce mémo

Même équation $y=mx+p$ pour les deux droites = infinité de solutions.

📊 Tableaux de synthèse

Cas possibles selon la position des droites

Situation	Position des droites	Nombre de solutions
Solution unique	Droites sécantes	Un point d’intersection
Sans solution	Droites parallèles strictes	Aucun point d’intersection
Infinité de solutions	Droites confondues	Une infinité de points d’intersection

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre droites parallèles et droites confondues : parallèles = même pente mais pas même droite, confondues = même équation.
2. Croire qu’une solution graphique est forcément entière : la lecture graphique donne le couple d’intersection, qui peut être non entier selon le tracé.
3. En substitution, isoler une inconnue qui crée des fractions : le cours signale que cela complique les calculs.
4. En combinaisons linéaires, ne pas aligner les coefficients avant d’additionner/soustraire : l’élimination d’une inconnue ne se fait pas correctement.
5. Penser que $S$ est toujours un ensemble avec un seul couple : $S$ peut être vide ($\varnothing$) ou contenir une infinité de couples.

✅ Checklist Examen

1. Savoir définir ce qu’est une solution d’un système et reconnaître la notation $S$.
2. Savoir résoudre un système par substitution : isoler une inconnue, substituer, résoudre l’équation obtenue, puis conclure avec le couple solution.
3. Savoir résoudre un système par combinaisons linéaires : multiplier pour aligner les coefficients, additionner/soustraire pour éliminer une inconnue, puis remonter.
4. Savoir interpréter une résolution graphique : réécrire en $y=mx+p$, tracer les deux droites, lire le point d’intersection et donner $S$.
5. Savoir conclure sans solution quand les droites sont strictement parallèles (même coefficient directeur) et écrire $S=\varnothing$.
6. Savoir conclure une infinité de solutions quand les droites sont confondues (même équation) et exprimer la famille de couples vérifiant l’équation commune.