Lernzettel: Séries numériques

📋 Plan du Cours

1. Définitions et convergence
2. Conditions et opérations élémentaires
3. Restes et séries télescopiques
4. Séries de référence
5. Séries à termes positifs
6. Convergence absolue et domination
7. Séries alternées et intégrales
8. Comparaison série-intégrale

📖 1. Définitions et convergence

🔑 Notions clés & Définitions

• Série : Suite des sommes partielles $$S_N=\sum_{n=n_0}^{N}u_n$.
• Convergence d’une série : La série $\sum u_n$ converge lorsque la suite de ses sommes partielles converge.
• Somme d’une série : Lorsque la série converge, sa somme est la limite $\sum_{n=n_0}^{+\infty}u_n=\lim_{N\to+\infty}\sum_{n=n_0}^{N}u_n$.

📝 Points essentiels

• La série de Bâle converge et vérifie $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac{1}{n^2}=\frac{\pi^2}{6}$. — Euler, problème de Bâle, 1735

💡 Astuce mémo

Sommes partielles convergentes → série convergente

📖 2. Conditions et opérations élémentaires

★ À maîtriser

📌 Si la série $\sum u_n$ converge, alors son terme général vérifie $u_n\to0$.

• La série harmonique $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1n$ diverge alors que $\frac1n\to0$.

📌 Si le terme général $u_n$ ne tend pas vers zéro, alors la série $\sum u_n$ diverge grossièrement.

📐 Formule — Si $\sum u_n$ et $\sum v_n$ convergent, alors $\sum(\lambda u_n+\mu v_n)=\lambda\sum u_n+\mu\sum v_n$.

Compléments

📌 Supprimer ou ajouter un nombre fini de termes ne change pas la nature d’une série.

💡 Astuce mémo

Terme général nul ≠ série convergente

📖 3. Restes et séries télescopiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Reste d’une série : Pour une série convergente de somme $S_\infty$, le reste d’ordre $N$ est $R_N=S_\infty-S_N=\sum_{n=N+1}^{+\infty}u_n$ et vérifie $R_N\to0$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour toute suite $u_n$, la série télescopique vérifie $\sum_{n=n_0}^{+\infty}(u_{n+1}-u_n)=\lim_{n\to+\infty}u_n-u_{n_0}$ lorsque la limite existe.

Compléments

• Une somme télescopique se calcule en développant les sommes partielles, en supprimant les termes qui se compensent, puis en passant à la limite.

💡 Astuce mémo

Somme partielle → limite → reste

📖 4. Séries de référence

★ À maîtriser

📌 La série géométrique $\sum_{n=n_0}^{+\infty}z^n$ converge si et seulement si $|z|<1$, et sa somme vaut $\frac{z^{n_0}}{1-z}$.

📐 Formule — Pour tout $z\in\mathbb C$, la série exponentielle converge et vérifie $\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{z^n}{n!}=e^z$.

📌 La série de Riemann $\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

Compléments

• La fonction zêta de Riemann est définie, pour $\alpha>1$, par $\zeta(\alpha)=\sum_{n=1}^{+\infty}\frac1{n^\alpha}$, notamment $\zeta(2)=\frac{\pi^2}{6}$.

💡 Astuce mémo

Géométrique : |z|<1 ; Riemann : α>1

📖 5. Séries à termes positifs

📝 Points essentiels

📌 Pour une série à termes positifs, les sommes partielles sont croissantes et la série converge si et seulement si elles sont majorées.

📌 Si $0\le u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge.

📌 Si $0\le u_n\le v_n$ à partir d’un certain rang et si $\sum u_n$ diverge, alors $\sum v_n$ diverge.

📌 Si $u_n\sim v_n$ et si $v_n$ est positive à partir d’un certain rang, alors les séries $\sum u_n$ et $\sum v_n$ ont la même nature.

💡 Astuce mémo

Termes positifs → sommes croissantes → majoration décisive

📖 6. Convergence absolue et domination

🔑 Notions clés & Définitions

• Convergence absolue : La série $\sum|u_n|$ converge.

★ À maîtriser

📌 Toute série absolument convergente est convergente.

📌 Si $v_n\ge0$, si $u_n=O(v_n)$ et si $\sum v_n$ converge, alors $\sum u_n$ converge absolument.

Compléments

📌 Pour montrer que $\sum u_n$ converge par une série de Riemann, il suffit de trouver $\alpha>1$ tel que $u_n=O(1/n^\alpha)$.

💡 Astuce mémo

Domination par une série convergente → convergence absolue

📖 7. Séries alternées et intégrales

🔑 Notions clés & Définitions

• Série alternée : Série dont les termes changent de signe successivement, de la forme $\sum(-1)^na_n$ ou $\sum(-1)^{n+1}a_n$ avec $a_n\ge0$.

★ À maîtriser

📌 Une série alternée converge si la suite des modules $|u_n|$ est décroissante et tend vers zéro.

Compléments

📌 Dans le critère des séries alternées, la somme a le signe du premier terme et vérifie $|S_\infty|\le|u_{n_0}|$.

📌 Le reste d’une série alternée vérifie $|R_n|\le|u_{n+1}|$ et a le signe de son premier terme $u_{n+1}$.

💡 Astuce mémo

Signe alterné, module décroissant, limite nulle

📖 8. Comparaison série-intégrale

★ À maîtriser

📌 Si $f$ est continue, positive et décroissante sur $[n_0,+\infty[$, alors la série $\sum_{n\ge n_0}f(n)$ et la suite des intégrales $\left(\int_{n_0}^{n}f(t)\,dt\right)$ ont la même nature.

📐 Formule — Pour $\alpha\in\mathbb R$, la limite $\lim_{x\to+\infty}\int_{t_0}^{x}\frac{1}{t^\alpha}\,dt$ est finie si et seulement si $\alpha>1$.

📌 Le critère de Riemann sur les séries découle de la comparaison série-intégrale : $\sum1/n^\alpha$ converge si et seulement si $\alpha>1$.

Compléments

• La comparaison série-intégrale s’obtient en encadrant chaque intégrale sur $[k,k+1]$ entre $f(k+1)$ et $f(k)$, puis en sommant ces encadrements.

💡 Astuce mémo

Fonction positive décroissante → série et intégrale de même nature

📊 Tableaux de synthèse

Séries de référence

Série	Condition de convergence	Somme
Géométrique $\sum z^n$	$\|z\|<1$	$z^{n_0}/(1-z)$
Exponentielle $\sum z^n/n!$	Tout $z\in\mathbb C$	$e^z$
Riemann $\sum1/n^\alpha$	$\alpha>1$	$\zeta(\alpha)$