Lernzettel: Sommes, ensembles et polynômes

📋 Plan du Cours

1. Sommes de suites et propriétés
2. Transformations des sommes
3. Produits et factorielles
4. Opérations sur les ensembles
5. Applications et bijections
6. Coefficients binomiaux
7. Formules trigonométriques
8. Polynômes et dérivation
9. Racines et trinômes

📖 1. Sommes de suites et propriétés

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une suite constante de terme a, on a ∑_{k=p}^{n} a=(n−p+1)a.

📐 Formule — Les sommes des puissances vérifient ∑{k=1}^{n}k=n(n+1)/2, ∑{k=1}^{n}k²=n(n+1)(2n+1)/6 et ∑_{k=1}^{n}k³=[n(n+1)/2]².

📐 Formule — Pour q≠1, la somme géométrique finie vérifie ∑_{k=0}^{n}q^k=(1−q^{n+1})/(1−q), tandis que pour q=1 elle vaut n+1.

Compléments

📐 Formule — La distributivité des sommes donne ∑{k=1}^{n}(x_k+y_k)=∑{k=1}^{n}x_k+∑_{k=1}^{n}y_k.

💡 Astuce mémo

Constante, puissances, géométrique

📖 2. Transformations des sommes

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Les changements d’indice autorisés sont i=k+m, qui transforme ∑{k=p}^{n}x_k en ∑{i=p+m}^{n+m}x_{i−m}, et i=m−k avec m≥n, qui transforme cette somme en ∑{i=m−n}^{m−p}x{m−i}.

📐 Formule — Le télescopage vérifie ∑{k=0}^{n}(x{k+1}−x_k)=x_{n+1}−x_0.

📐 Formule — Pour des réels x_1,…,x_n, on a (∑{k=1}^{n}x_k)²=∑{k=1}^{n}x_k²+2∑_{1≤i<j≤n}x_ix_j.

Compléments

🔄 Processus — Des sommes doubles peuvent être interverties lorsque les domaines d’indices sont correctement conservés, notamment pour des indices indépendants ou pour les domaines triangulaires i≤j et i<j.

💡 Astuce mémo

Changer, télescoper, intervertir

📖 3. Produits et factorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : D’un entier naturel n est définie par 0!=1 et n!=1×2×…×n pour n non nul.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Le produit de n termes constants égaux à a vaut ∏_{k=1}^{n}a=a^n.

📐 Formule — Si tous les x_k sont non nuls, le télescopage multiplicatif vérifie ∏{k=0}^{n}(x{k+1}/x_k)=x_{n+1}/x_0.

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, on a n!=n×(n−1)! .

📐 Formule — La distributivité multiplicative donne ∏{k=1}^{n}(x_ky_k)=(∏{k=1}^{n}x_k)(∏_{k=1}^{n}y_k).

💡 Astuce mémo

Produit = somme multiplicative

📖 4. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Inclusion : L’ensemble A est inclus dans B, noté A⊂B, lorsque tout élément de A appartient à B.
• Intersection : L’intersection A∩B est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B.
• Réunion : A∪B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B, éventuellement aux deux.
• Produit cartésien : A₁×…×A_n est l’ensemble des n-uplets (x₁,…,x_n) tels que x_i∈A_i pour tout i.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Les lois de Morgan donnent le complémentaire de A∩B égal à Ā∪B̄ et le complémentaire de A∪B égal à Ā∩B̄.

Compléments

📐 Formule — L’inclusion vérifie A⊂B si et seulement si A∩B=A, et si et seulement si A∪B=B.

💡 Astuce mémo

Intersection = et, réunion = ou

📖 5. Applications et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : F de E dans F associe exactement une image de F à chaque élément de E.
• Composition : Si f:E→F et g:F→G, la composée g∘f:E→G est définie par (g∘f)(x)=g(f(x)).
• Injection : Une application f:E→F est injective si chaque élément de F possède au plus un antécédent, ce qui équivaut à f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂.
• Surjection : Une application f:E→F est surjective si chaque élément de F possède au moins un antécédent, c’est-à-dire si ∀y∈F, ∃x∈E tel que f(x)=y.
• Bijection : Une application f:E→F est bijective si elle est à la fois injective et surjective, donc si chaque y∈F possède un unique antécédent.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Une fonction réelle continue et strictement monotone sur un intervalle I est une bijection de I sur J=f(I), et f et f^{-1} ont les mêmes variations.

Compléments

📌 Si f et g sont des bijections composables, alors g∘f est bijective et (g∘f)^{-1}=f^{-1}∘g^{-1}.

💡 Astuce mémo

Injective, surjective, bijective

📖 6. Coefficients binomiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient binomial : (n parmi p) est égal à n!/[p!(n−p)!] si 0≤p≤n, et à 0 si p>n.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est n!.

• Le coefficient binomial (n parmi p) compte les choix de p objets distincts parmi n sans tenir compte de l’ordre.

📐 Formule — Les coefficients binomiaux vérifient la symétrie (n parmi p)=(n parmi n−p) et la relation de Pascal (n parmi p)=(n−1 parmi p−1)+(n−1 parmi p).

📐 Formule — La formule du binôme est (a+b)^n=∑_{k=0}^{n}(n parmi k)a^k b^{n−k}.

Compléments

• Un ensemble à n éléments possède 2^n parties.

💡 Astuce mémo

Choisir sans ordre

📖 7. Formules trigonométriques

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Les formules d’addition sont cos(a+b)=cos a cos b−sin a sin b et sin(a+b)=sin a cos b+cos a sin b.

📐 Formule — Les formules de soustraction sont cos(a−b)=cos a cos b+sin a sin b et sin(a−b)=sin a cos b−cos a sin b.

📐 Formule — Les formules de duplication sont cos(2a)=cos²a−sin²a=2cos²a−1=1−2sin²a et sin(2a)=2sin a cos a.

• Pour x égal à 0, π/6, π/4, π/3 et π/2, les valeurs de sin x sont respectivement 0, 1/2, √2/2, √3/2 et 1, tandis que celles de cos x sont 1, √3/2, √2/2, 1/2 et 0.

Compléments

📐 Formule — Les formules de linéarisation sont cos²a=(1+cos 2a)/2 et sin²a=(1−cos 2a)/2.

💡 Astuce mémo

Addition puis duplication

📖 8. Polynômes et dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme : Réel est une fonction de la forme P(x)=a₀+a₁x+…+a_nx^n, où les a_i sont réels.
• Degré d’un polynôme : Pour un polynôme non nul, le degré est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul, et ce coefficient est le coefficient dominant.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux polynômes P et Q, deg(P+Q)≤max(deg P,deg Q) et deg(PQ)=deg P+deg Q.

🔄 Processus — La division euclidienne de A par B≠0 s’écrit de manière unique A=BQ+R avec deg R<deg B.

📐 Formule — Si P(x)=∑{i=0}^{n}a_i x^i, alors P'(x)=∑{i=1}^{n}i a_i x^{i−1}, et la dérivée d’un polynôme constant est nulle.

📐 Formule — La formule de Taylor polynomiale est P(x)=∑_{k=0}^{n}P^{(k)}(a)(x−a)^k/k!.

Compléments

📐 Formule — Pour P de degré n, sa dérivée d’ordre k a pour degré n−k si 0≤k≤n et P^{(k)}=0 pour k≥n+1.

💡 Astuce mémo

Diviser, dériver, développer

📖 9. Racines et trinômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un réel r est une racine de P si P(r)=0, ce qui équivaut à la divisibilité de P(x) par x−r.
• Multiplicité d’une racine : r est une racine de multiplicité m de P si (X−r)^m divise P et (X−r)^{m+1} ne divise pas P.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Un polynôme non nul de degré inférieur ou égal à n possède au plus n racines distinctes, et un polynôme ayant au moins n+1 racines est nul.

📐 Formule — Pour le trinôme ax²+bx+c avec a≠0, le discriminant est Δ=b²−4ac.

📌 Si Δ<0, le trinôme n’a pas de racine réelle; si Δ=0, il a la racine double −b/(2a); si Δ>0, il a deux racines distinctes (−b−√Δ)/(2a) et (−b+√Δ)/(2a).

📌 Si Δ≤0, le trinôme est du signe de a; si Δ>0, il est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles.

Compléments

📌 r est une racine de multiplicité m si et seulement si P^{(k)}(r)=0 pour 0≤k<m et P^{(m)}(r)≠0.

📐 Formule — Tout polynôme réel se factorise en produit de polynômes réels de degré 1 et de polynômes réels de degré 2 sans racine réelle.

📐 Formule — Pour un trinôme ax²+bx+c de racines x₁ et x₂, on a x₁+x₂=−b/a et x₁x₂=c/a.

💡 Astuce mémo

Racines, discriminant, signe

📊 Tableaux de synthèse

Types d’applications

Type	Antécédents dans F	Caractérisation
Injection	Au plus un	f(x₁)=f(x₂)⇒x₁=x₂
Surjection	Au moins un	∀y∈F, ∃x∈E, f(x)=y
Bijection	Un unique	Injection et surjection

Cas du discriminant

Condition	Racines réelles	Signe du trinôme
Δ<0	Aucune	Signe de a
Δ=0	Une racine double	Signe de a
Δ>0	Deux racines distinctes	Signe de a à l’extérieur, signe opposé entre elles

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Le nombre de termes est n−p+1, et non n−p.
2. Un changement d’indice modifie aussi les bornes de sommation.
3. La convention 0!=1 est indispensable.
4. L’inclusion n’impose pas que A et B soient différents.
5. Une fonction peut n’associer aucune image à certains éléments de son domaine.
6. Le coefficient est nul lorsque p dépasse n.
7. Le signe devant sin a sin b change entre addition et soustraction pour le cosinus.