Lernzettel: Suites arithmétiques et fonctions affines

📋 Plan du Cours

1. Suites arithmétiques
2. Relation de récurrence et forme explicite
3. Représentation graphique et variation
4. Fonctions affines

📖 1. Suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite dont chaque terme s’obtient à partir du précédent en ajoutant une même constante.
• Raison r : La raison r est la constante qui mesure de combien un terme arithmétique augmente ou diminue à chaque pas.
• Terme initial u(0) : Le terme initial u(0) est la valeur de la suite au départ, avant les additions successives de la raison.

📝 Points essentiels

• Dans l’exemple, le chiffre d’affaires augmente de 40 000 F par an, donc c(n+1)=c(n)+40 000.
• Avec c(0)=500 000 F (année 2022), on a c(1)=540 000 F (année 2023) et c(2)=580 000 F (année 2024).
• Le terme c(10) correspond à la valeur de l’année 2032 (car 2022+10).
• Le même modèle donne c(3)=620 000 F (année 2025) puis c(4)=660 000 F (année 2026).

💡 Astuce mémo

r positif = croissance (ça monte) ; r négatif = décroissance (ça descend).

📖 2. Relation de récurrence et forme explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation de récurrence : Une relation de récurrence décrit comment calculer un terme à partir du précédent grâce à une règle de calcul.
• Forme explicite : La forme explicite donne directement u(n) en fonction de n, sans passer par les termes précédents.

📝 Points essentiels

• Pour une suite arithmétique de raison r, la relation de récurrence est u(n+1)=u(n)+r pour tout n ∈ N.
• La forme explicite d’une suite arithmétique est u(n)=u(0)+n×r pour tout n ∈ N.
• Dans l’exemple, avec c(0)=500 000 et r=40 000, on obtient c(10)=500 000+10×40 000=900 000 F (année 2032).

💡 Astuce mémo

Récurrence = calcul pas à pas ; explicite = formule directe u(n)=u(0)+n·r.

📖 3. Représentation graphique et variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Le nuage de points est le regroupement des couples (n ; u_n) utilisés pour visualiser une suite.
• Alignement : Pour une suite arithmétique, les points (n ; u_n) sont alignés et suivent une droite.
• Suite strictement croissante : Une suite strictement croissante augmente à chaque pas, ce qui correspond à une raison positive.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une suite arithmétique consiste à tracer les points (n ; u_n).
• Ces points sont alignés sur une droite d’équation y=r×x+(u_0) (ou y=r×x+b avec b=u_0).
• Pour une suite arithmétique de raison r : r>0 ⇔ suite strictement croissante ; r=0 ⇔ suite constante ; r<0 ⇔ suite strictement décroissante.

💡 Astuce mémo

Signe de r : + monte, 0 plat, - descend.

📖 4. Fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine est une fonction de la forme f(x)=m×x+p pour tout réel x.
• Coefficient directeur m : Le coefficient directeur m indique la pente de la droite représentant la fonction affine.
• Ordonnée à l’origine p : L’ordonnée à l’origine p est la valeur de la fonction au point x=0, donc p=f(0).

📝 Points essentiels

• Une fonction f est affine s’il existe m et p réels tels que f(x)=m×x+p pour tout x ∈ R.
• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite de pente m et d’ordonnée à l’origine p.
• On a toujours f(0)=p pour une fonction affine.
• Dans l’exercice, f(x)=0,5x+4 : le coefficient directeur vaut 0,5 et l’ordonnée à l’origine vaut 4.

💡 Astuce mémo

m = pente ; p = point de départ (valeur en x=0).

📅 Repères chronologiques

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la valeur u(0) (terme initial) avec le terme u(1) ; la formule explicite utilise bien u(0).
2. Mauvaise lecture de l’équation de la droite : la constante du type y=r×x+b correspond à b=u(0).
3. Se tromper sur le lien année↔indice : dans l’exemple, l’année vaut 2022+n, donc c(10) correspond à 2032.
4. Inverser le signe de la raison et le sens de variation : r>0 implique croissance, r<0 implique décroissance.
5. Utiliser une forme de la suite arithmétique qui oublie n×r (par exemple confondre u(n)=u(0)+r+n).
6. Penser qu’une fonction affine a forcément m et p entiers : ce sont des réels.

✅ Checklist Examen

1. Savoir donner la définition d’une suite arithmétique à partir de la notion de raison r.
2. Écrire la relation de récurrence d’une suite arithmétique : u(n+1)=u(n)+r.
3. Écrire la forme explicite d’une suite arithmétique : u(n)=u(0)+n×r.
4. À partir de c(0) et r, calculer c(1), c(2) et un terme c(n) demandé.
5. Interpréter un indice n en termes d’année dans l’exercice : année = 2022+n.
6. Tracer/identifier la représentation graphique d’une suite arithmétique via les points (n ; u_n).
7. Écrire l’équation de la droite associée à une suite arithmétique : y=r×x+u(0).
8. Déterminer le sens de variation d’une suite arithmétique à partir du signe de r (croissante, constante, décroissante).
9. Donner la définition d’une fonction affine : f(x)=m×x+p pour tout x réel.
10. Relier m à la pente et p à l’ordonnée à l’origine pour une fonction affine.
11. Calculer f(0) et retrouver p à partir de l’expression f(x)=m×x+p.
12. Pour une fonction donnée, identifier m et p puis prédire la valeur en x=0.