Lernzettel: Suites arithmétiques et géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition des suites arithmétiques
2. Formule et détermination arithmétiques
3. Variations des suites arithmétiques
4. Définition des suites géométriques
5. Formule et détermination géométriques
6. Variations des suites géométriques
7. Sommes de termes consécutifs
8. Algorithme de somme

📖 1. Définition des suites arithmétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite (u_n) est arithmétique s’il existe un nombre r tel que, pour tout entier n, u_{n+1}=u_n+r, où r est appelé la raison de la suite.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour démontrer qu’une suite est arithmétique, on calcule u_{n+1}−u_n et on vérifie que cette différence est constante, indépendante de n.

Compléments

📌 La raison d’une suite arithmétique peut être négative, par exemple lorsqu’on passe d’un terme au suivant en ajoutant −2.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : on ajoute

📖 2. Formule et détermination arithmétiques

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Une suite arithmétique de premier terme u_0 et de raison r vérifie, pour tout entier naturel n, u_n=u_0+nr.

🔄 Processus — Pour déterminer une raison et un premier terme à partir de deux termes connus, on exprime ces termes avec u_n=u_0+nr, puis on soustrait les égalités pour trouver r avant de calculer u_0.

Compléments

📐 Formule — Si le terme u_1 et la raison r sont connus, on peut utiliser directement u_n=u_1+(n−1)r.

🔄 Processus — Pour retrouver u_0 à partir de u_1 et d’une raison r, on effectue une marche arrière en calculant u_0=u_1−r.

💡 Astuce mémo

Premier terme + rang × raison

📖 3. Variations des suites arithmétiques

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Une suite arithmétique de raison r est croissante si r>0 et décroissante si r<0.

Compléments

📐 Formule — Pour une suite arithmétique, u_{n+1}−u_n=r.

• Les points de la représentation graphique d’une suite arithmétique sont alignés et sa croissance est linéaire.

💡 Astuce mémo

Le signe de r donne le sens

📖 4. Définition des suites géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite géométrique : Une suite (u_n) est géométrique s’il existe un nombre réel non nul q tel que, pour tout entier n, u_{n+1}=q×u_n, où q est appelé la raison de la suite.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour démontrer qu’une suite est géométrique, on calcule le rapport u_{n+1}/u_n et on vérifie qu’il est constant et égal à q.

Compléments

• Un capital de 500 € placé à 4 % par an suit une progression géométrique de raison 1,04, avec u_{n+1}=1,04u_n.

💡 Astuce mémo

Géométrique : on multiplie

📖 5. Formule et détermination géométriques

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une suite géométrique de premier terme u_0 et de raison q vérifie, pour tout entier naturel n, u_n=u_0×q^n.

🔄 Processus — Pour déterminer une raison et un premier terme à partir de deux termes connus, on exprime les deux termes avec u_n=u_0q^n, puis on les divise membre à membre afin d’isoler q.

💡 Astuce mémo

Premier terme × raison^rang

📖 6. Variations des suites géométriques

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si u_0>0 et q>1, une suite géométrique est croissante, tandis que si u_0>0 et 0<q<1, elle est décroissante.

📌 Si q=1, la suite géométrique est constante, et si q≤0, elle n’est ni croissante ni décroissante.

Compléments

📐 Formule — Pour une suite géométrique, u_{n+1}−u_n=u_0q^n(q−1), ce qui permet d’étudier son sens de variation.

💡 Astuce mémo

Signe du premier terme et valeur de q

📖 7. Sommes de termes consécutifs

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n, la somme des n premiers entiers vérifie 1+2+3+⋯+n=n(n+1)/2.

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul n et tout réel q différent de 1, 1+q+q^2+⋯+q^n=(1−q^{n+1})/(1−q).

🔄 Processus — Pour calculer une somme géométrique appliquée à un problème, on identifie le premier terme et la raison, puis on factorise le premier terme avant d’utiliser la formule de somme.

Compléments

🔄 Processus — Pour calculer une somme arithmétique, on peut regrouper les termes extrêmes deux à deux, chaque paire ayant la même somme.

• Un investissement initial de 20 000 € diminué de 30 % chaque mois forme une suite géométrique de raison 0,70, et le total investi sur 12 mois est environ égal à 65 744 €.

💡 Astuce mémo

Arithmétique : moyenne des extrêmes

📖 8. Algorithme de somme

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Lorsqu’une suite n’est ni arithmétique ni géométrique, on peut calculer une somme de termes consécutifs avec un programme Python en générant les termes successifs et en les additionnant.

Compléments

• Pour la suite définie par u_0=2 et u_{n+1}=0,2u_n+1, le calcul programmé de u_0+u_1+⋯+u_{10} donne environ 14,69.

📊 Tableaux de synthèse

Comparaison des deux types de suites

Type	Relation de récurrence	Expression explicite	Évolution graphique
Arithmétique	u_{n+1}=u_n+r	u_n=u_0+nr	Croissance linéaire, points alignés
Géométrique	u_{n+1}=q×u_n	u_n=u_0×q^n	Croissance exponentielle

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une suite arithmétique se définit par une différence constante, et non par un rapport constant.
2. La formule u_n=u_0+nr suppose que l’indice de départ est 0.
3. Le sens de variation dépend du signe de la raison, pas de la valeur du premier terme.
4. Une suite géométrique se définit par un rapport constant, et non par une différence constante.
5. La raison est une base de puissance, pas un facteur ajouté au rang.
6. Pour un premier terme positif, q>1 et 0<q<1 donnent des sens de variation opposés.
7. La formule géométrique donnée exige q≠1.