Lernzettel: Transformations géométriques et ratios

📋 Plan du Cours

1. Agrandissements géométriques
2. Réductions géométriques
3. Propriétés et effets des transformations
4. Équations-produit nul
5. Ratios et proportions

📖 1. Agrandissements géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Agrandissement : Transformation géométrique qui agrandit une figure en conservant sa forme et ses angles.
• Coefficient d'agrandissement k : Nombre $k$ qui multiplie toutes les longueurs lors d’un agrandissement, avec $k>1$.

📝 Points essentiels

• Lors d’un agrandissement, la nouvelle figure est plus grande que la figure de départ.
• Le coefficient d’agrandissement vérifie $k>1$, et chaque longueur est multipliée par $k$.
• Les angles restent identiques et les côtés correspondants restent proportionnels pendant l’agrandissement.
• Les périmètres et les aires changent : le périmètre est multiplié par $k$, l’aire par $k^2$.
• Exemple : si un segment vaut 4 cm et $k=3$, la longueur devient $4×3=12$ cm.

💡 Astuce mémo

Agrandir = k>1 : longueur ×k, aire ×k², périmètre ×k.

📖 2. Réductions géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Réduction : Transformation géométrique qui réduit une figure en conservant sa forme et ses angles.
• Coefficient de réduction k : Nombre $k$ qui multiplie toutes les longueurs pendant une réduction, avec $0<k<1$.

📝 Points essentiels

• Lors d’une réduction, la nouvelle figure est plus petite que la figure de départ.
• Le coefficient de réduction vérifie $0<k<1$, et chaque longueur est multipliée par $k$.
• Les angles restent identiques et la figure conserve sa forme, donc les figures sont semblables.
• Le périmètre est multiplié par $k$ et l’aire est multipliée par $k^2$.
• Exemple : 10 cm avec $k=0,4$ donne $10×0,4=4$ cm.

💡 Astuce mémo

Réduire = 0<k<1 : on “compresse” les longueurs, puis périmètre ×k et aire ×k².

📖 3. Propriétés et effets des transformations

🔑 Notions clés & Définitions

• Figures semblables : Deux figures ont la même forme : leurs angles sont égaux et leurs côtés correspondants sont proportionnels.
• Conservation des angles : Propriété des agrandissements et des réductions : les angles de la figure ne changent pas.

📝 Points essentiels

• Dans un agrandissement ou une réduction, les angles restent identiques.
• Les côtés correspondants restent proportionnels : la figure conserve sa forme (figures semblables).
• Les longueurs changent sauf si $k=1$, mais la proportionnalité entre côtés reste vraie.
• Le périmètre n’est pas conservé : il est multiplié par $k$.
• L’aire n’est pas conservée : elle est multipliée par $k^2$.
• Méthode : repérer $k$, multiplier toutes les longueurs par $k$, puis pour les aires multiplier par $k^2$.

💡 Astuce mémo

Angles fixes, forme gardée : seul l’échelle change (longueurs ×k, périmètre ×k, aire ×k²).

📖 4. Équations-produit nul

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation-produit nul : Équation de la forme $A×B=0$ qui permet d’obtenir des solutions en annulant un facteur.
• Règle du produit nul : Propriété : si $A×B=0$, alors au moins un des deux facteurs est nul.

📝 Points essentiels

• Si $A×B=0$, alors $A=0$ ou $B=0$.
• On résout d’abord en mettant l’équation sous la forme (1)(2)=0.
• Pour $(x-3)(x+5)=0$, on obtient $x=3$ ou $x=-5$.
• Pour $x(2x-7)=0$, on obtient $x=0$ ou $x=7/2$ donc $x=3,5$.
• On ne peut pas utiliser la règle directement si l’équation n’est pas égale à 0, par exemple $(x-2)(x+1)=6$.

💡 Astuce mémo

Produit nul = “zéro quelque part” : un facteur s’annule toujours.

📖 5. Ratios et proportions

🔑 Notions clés & Définitions

• Ratio : Comparaison de deux quantités exprimée souvent sous la forme $a:b$.
• Simplification d’un ratio : Opération qui divise (ou multiplie) les deux nombres du ratio par le même facteur pour obtenir un ratio équivalent.

📝 Points essentiels

• Un ratio $a:b$ se lit « a pour b » ou « a à b ».
• Le ratio filles : garçons peut s’écrire $12:18$, puis se simplifier en $2:3$ en divisant par 6.
• Si une partie du ratio $a:b$ vaut $k×a$, alors l’autre vaut $k×b$.
• Pour rouge:bleu $3:2$ avec 15 objets rouges, on calcule $15÷3=5$ puis $2×5=10$ objets bleus.
• Exemple : pommes:poires $4:5$, si 20 pommes alors $20÷4=5$ puis $5×5=25$ poires.

💡 Astuce mémo

Ratio $a:b$ : dès que tu “trouves le facteur” avec $a$, tu l’appliques à $b$.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre $k>1$ et $0<k<1$ : $k>1$ agrandit, $0<k<1$ réduit.
2. Mélanger les effets : périmètre multiplie par $k$, mais aire multiplie par $k^2$.
3. Croire que la forme change : dans un agrandissement/réduction, les angles restent identiques et les figures sont semblables.
4. Appliquer le produit nul quand l’équation n’est pas égale à 0, par exemple $(x-2)(x+1)=6$.
5. Oublier qu’avec $A×B=0$, ce sont les facteurs qui s’annulent (pas directement la somme ou une autre opération).
6. Penser qu’un ratio représente des écarts absolus : c’est une comparaison en proportions, qui se garde quand on multiplie/divise les deux parts.

✅ Checklist Examen

1. Identifier si une transformation est un agrandissement ou une réduction à partir du signe et de la valeur du coefficient $k$.
2. Calculer une longueur après agrandissement ou réduction en multipliant par $k$.
3. Calculer le périmètre après agrandissement ou réduction en multipliant par $k$.
4. Calculer l’aire après agrandissement ou réduction en multipliant par $k^2$.
5. Conclure que les figures obtenues sont semblables en justifiant par la conservation des angles et la proportion des côtés correspondants.
6. Résoudre une équation-produit nul sous la forme $(...)(...)=0$ en annulant chaque facteur.
7. Donner toutes les solutions d’une équation-produit nul sans en oublier une branche.
8. Refuser d’utiliser la règle du produit nul si le membre de droite n’est pas 0, puis reformuler si nécessaire.
9. Lire correctement un ratio $a:b$ comme comparaison « a pour b » ou « a à b ».
10. Simplifier un ratio en divisant (ou en multipliant) les deux termes par le même nombre.
11. Trouver une quantité à partir d’un ratio $a:b$ quand une des deux quantités vaut $k×a$.