Variables aléatoires discrètes et continues

1. 📌 L'essentiel

• Un couple aléatoire discret défini par une loi de masse P(x₁,x₂) sur un ensemble fini ou dénombrable.
• Lois marginales : P_X₁(x₁) = ∑_j P(x₁,x), P_X₂(x₂) = ∑_i P(x_i,x₂).
• Lois conditionnelles : P_X₁|X₂(x₁|x₂) = P(x₁,x₂)/P_X₂(x₂), idem pour P_X₂|X₁.
• Indépendance : X₁ et X₂ sont indépendantes si P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂) ∀ (x₁,x₂).
• Lois discrètes usuelles : Bernoulli, binomiale, Poisson, géométrique, hypergéométrique.
• Variables continues : densité f(x), E(X)=∫ x f(x) dx, V(X)=E[(X−E[X])²].
• Approximations possibles : hypergéométrique ≈ binomiale ≈ Poisson ≈ normale pour grands n ou λ≥10.
• Relations clé : linéarité de E, V(aX+b)=a²V(X).

2. 🧩 Structures & Composants clés

• Couple aléatoire discret — loi de masse P(x₁,x₂).
• Lois marginales — calcul par sommation sur l’autre variable.
• Lois conditionnelles — rapport de P(x₁,x₂) sur P_X₂(x₂) ou P_X₁(x₁).
• Indépendance — P(x₁,x₂)=P_X₁(x₁)×P_X₂(x₂).
• Lois discrètes : Bernoulli(p), binomiale(n,p), Poisson(λ), géométrique(p), hypergéométrique(N,B,n).
• Variables continues : densité f(x), espérance E(X), variance V(X).
• Lois continues : uniforme [a,b], normale N(0,1).