Lernzettel: Variables aléatoires et lois de probabilité

📋 Plan du Cours

1. Définition d’une variable aléatoire
2. Construction d’une loi de probabilité
3. Calcul d’événements par sommation
4. Applications aux expériences aléatoires

📖 1. Définition d’une variable aléatoire

🔑 Notions clés & Définitions

• Variable aléatoire réelle : Une fonction $X:\Omega\to\mathbb{R}$ qui associe un nombre réel à chaque issue d’une expérience aléatoire.

📝 Points essentiels

• Une variable aléatoire permet de traduire des résultats comme pile ou face ou une couleur de carte en valeurs numériques utilisables pour les calculs.

• Pour un dé équilibré, si le gain est défini par $X=5\times\text{valeur du dé}$, alors un résultat égal à 2 donne un gain de 10 € et un résultat égal à 6 donne un gain de 30 €.

📖 2. Construction d’une loi de probabilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi de probabilité : D’une variable aléatoire X associe à chaque valeur possible $x_i$ sa probabilité $P(X=x_i)$, généralement dans un tableau.

★ À maîtriser

• Dans une loi de probabilité finie, la somme de toutes les probabilités vaut 1, soit $\sum_i P(X=x_i)=1$.

Compléments

• Lorsque X compte le nombre de piles obtenues en lançant deux pièces, ses valeurs possibles sont 0, 1 et 2.

• Pour un sac contenant 3 boules rouges et 2 boules bleues, la variable X valant 1 pour une boule rouge et 0 sinon vérifie $P(X=1)=\frac{3}{5}$ et $P(X=0)=\frac{2}{5}$.

💡 Astuce mémo

Valeurs puis probabilités, somme égale à 1

📖 3. Calcul d’événements par sommation

🔑 Notions clés & Définitions

• Probabilité d’un événement : Défini par les valeurs de X est la somme des probabilités des valeurs qui appartiennent à cet événement, soit $P(X\in A)=\sum_{x_i\in A}P(X=x_i)$.

★ À maîtriser

• Pour calculer la probabilité d’un événement comme $X\geq k$, il faut identifier toutes les valeurs de X qui vérifient la condition puis additionner leurs probabilités.

• Dans un univers équiprobable, la probabilité d’un événement se calcule par le quotient du nombre de cas favorables par le nombre de cas possibles.

Compléments

• Avec une loi telle que $P(X=3)=0,4$ et $P(X=4)=0,2$, on obtient $P(X\geq3)=0,4+0,2=0,6$.

💡 Astuce mémo

Événement réalisé → probabilités additionnées

📖 4. Applications aux expériences aléatoires

📝 Points essentiels

• Avec la même loi, si $P(X=1)=0,1$ et $P(X=2)=0,3$, alors $P(X\leq2)=0,1+0,3=0,4$.