Karteikarten: Vecteurs, coordonnées et nombres complexes — 89 Karten

Quelles notations désignent la dérivée par rapport à x ?

f′(x), df/dx(x) et d/dx f(x).

À quoi sert la notation ḟ(t) en dérivation ?

Elle désigne la dérivée par rapport au temps.

Quelle est la formule de la dérivée d'un produit uv ?

(uv)′=u′v+uv′.

Quelle est la formule de la dérivée d'un quotient u/v ?

(u/v)′=(u′v−uv′)/v².

Quelle est la formule de la dérivée d'une composée g∘f ?

(g∘f)′(x)=g′[f(x)]f′(x).

Quelle est la dérivée de x^α pour α réel ?

αx^(α−1) sur son domaine de définition.

Quelle est l'équation de la tangente à y=f(x) en x₀ ?

y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀).

Que signifie f′(x₀)=0 et f′′(x₀)>0 pour f ?

f présente un minimum local en x₀.

Qu'est-ce qu'une primitive F d'une fonction continue f sur un intervalle I ?

F vérifie F′(x)=f(x) pour tout x dans I.

Quelle forme ont toutes les primitives d'une fonction f ?

Elles sont de la forme F(x)+C avec C une constante réelle.

Quelle est la primitive de x^α pour α différent de -1 ?

x^(α+1)/(α+1)+C.

Comment s'exprime l'intégrale de f entre a et b si F est une primitive de f ?

∫_a^b f(x)dx = F(b) − F(a).

Que représente une intégrale définie en termes d'aire ?

Une aire algébrique positive au-dessus de y=0 et négative en dessous.

Quelle est la formule de l'intégration par parties entre a et b ?

∫_a^b u′(x)v(x)dx = [u(x)v(x)]_a^b − ∫_a^b u(x)v′(x)dx.

Comment s'écrit une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants ?

a f′(x)+b f(x)=Φ(x) avec a≠0, a et b constants, Φ connue.

Quelle est la première étape pour résoudre une équation différentielle du premier ordre ?

Déterminer la solution homogène.

Comment s'écrit l'équation caractéristique de a f′+bf=0 ?

ar+b=0.

Quelle est la forme de la solution générale de l'équation homogène a f′+bf=0 ?

f_H(x)=K exp(−bx/a).

Quelle formule donne une solution particulière par variation de la constante ?

f_P(x)=(1/a)exp(−bx/a)∫^x exp(bt/a)Φ(t)dt.

Pourquoi applique-t-on une condition initiale à la solution générale avec second membre ?

Pour déterminer l’unique constante.

Comment s'écrit une équation différentielle linéaire homogène du 2ᵉ ordre à coefficients constants ?

a f′′(t)+b f′(t)+cf(t)=0 avec a≠0 et a, b, c constants.

Quelle est l'équation caractéristique associée à a f′′+b f′+cf=0 ?

ar²+br+c=0 avec discriminant Δ=b²−4ac.

Quelle forme prend la solution réelle si Δ<0 ?

f(t)=exp(λt)[A cos(ωt)+B sin(ωt)] avec régime pseudo-périodique.

Quelle est la nature de la solution si Δ>0 ?

Une somme de deux exponentielles réelles avec régime apériodique.

Quelle est la solution générale si Δ=0 ?

f(t)=(C₁+C₂t)exp(rt) avec r=−b/(2a).

Quel régime correspond à Δ=0 ?

Le régime critique.

Combien de conditions initiales sont nécessaires pour une équation différentielle du 2ᵉ ordre homogène ?

Deux conditions initiales ou aux limites sont nécessaires.

Quelle est la norme d'un vecteur (x,y,z) dans une base orthonormée ?

La norme vaut √(x²+y²+z²).

Comment s'écrit le déplacement élémentaire d⃗ℓ en coordonnées cartésiennes ?

d⃗ℓ=dx⃗e_x+dy⃗e_y+dz⃗e_z.

Quelle est la formule du volume élémentaire dV en coordonnées cartésiennes ?

dV=dx dy dz.

Comment calcule-t-on le produit scalaire de deux vecteurs (x₁,y₁,z₁) et (x₂,y₂,z₂) ?

Il vaut x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂.

Quelle autre expression donne le produit scalaire entre deux vecteurs ?

||u⃗||||v⃗||cos(û,v⃗).

Quelles sont les composantes du produit vectoriel de (x₁,y₁,z₁) par (x₂,y₂,z₂) ?

(y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂).

Quelle est la direction du produit vectoriel par rapport aux vecteurs de départ ?

Il est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ.

À quoi correspond la norme du produit vectoriel de deux vecteurs ?

Elle est égale à l’aire du parallélogramme construit sur ces vecteurs.

Quelle est la direction du produit vectoriel de deux vecteurs ?

Il est perpendiculaire au plan défini par ces vecteurs.

Quelle formule donne la norme du produit vectoriel ||u ∧ v|| ?

||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| |sin(∠(u,v))|.

Que représente la norme du produit vectoriel de u et v ?

L’aire du parallélogramme construit sur u et v.

Comment détermine-t-on l’orientation du produit vectoriel u ∧ v ?

Avec la règle de la main droite en faisant tourner u vers v.

Quelles conditions définissent une base orthonormée directe (e1,e2,e3) ?

Vecteurs unitaires, orthogonaux deux à deux, et e3 = e1 ∧ e2.

Quelles égalités vérifie une base orthonormée directe concernant e1, e2 et e3 ?

e1 = e2 ∧ e3 et e2 = e3 ∧ e1.

Quelle est la formule trigonométrique de cos(a+b) ?

cos(a+b) = cos a cos b − sin a sin b.

Quelle est la formule trigonométrique de sin(a+b) ?

sin(a+b) = sin a cos b + cos a sin b.

Quelles sont les coordonnées cylindriques d'un point M ?

(ρ,ϕ,z) avec ρ=OH, ϕ=∠(ex,OH), z=HM.

Quelle est l'expression du vecteur position en coordonnées cylindriques ?

OM = ρ eρ + z ez.

Comment s'exprime le déplacement élémentaire en coordonnées cylindriques ?

dℓ = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez.

Quelle est la formule du volume élémentaire en coordonnées cylindriques ?

dV = ρ dρ dϕ dz.

Quelles sont les coordonnées sphériques d'un point M ?

(r,θ,ϕ) avec r=OM, θ=∠(ez,OM), ϕ=∠(ex,OH).

Quelle est l'expression du vecteur position en coordonnées sphériques ?

OM = r er.

Comment s'exprime le déplacement élémentaire en coordonnées sphériques ?

dℓ = dr er + r dθ eθ + r sinθ dϕ eϕ.

Quelle est la formule du volume élémentaire en coordonnées sphériques ?

dV = r² sinθ dr dθ dϕ.

Comment s'écrit un nombre complexe z en forme algébrique ?

z = x + iy avec x,y réels et i² = -1.

Quelle est la forme exponentielle d'un nombre complexe z ?

z = ρ e^{iϕ} = ρ(cosϕ + i sinϕ) avec ρ = |z| et ϕ = arg(z).

Comment se définit le conjugué d'un nombre complexe z = x + iy ?

Le conjugué est z̄ = x - iy.

Que représente géométriquement le conjugué d'un nombre complexe ?

La symétrie du point par rapport à l'axe réel.

Quelle formule donne le module d'un nombre complexe z ?

|z| = √(z z̄).

Comment se calcule le module du produit et du quotient de deux complexes ?

|z1 z2| = |z1||z2| et |z1 / z2| = |z1| / |z2| pour z2 ≠ 0.

Quelle relation lie l'argument de 1/z à celui de z ?

arg(1/z) = -arg(z) pour z non nul.

Comment exprime-t-on cosϕ et sinϕ avec les exponentielles complexes ?

cosϕ = (e^{iϕ} + e^{-iϕ})/2 et sinϕ = (e^{iϕ} - e^{-iϕ})/(2i).

Quels sont les trois paramètres caractérisant un signal sinusoïdal réel s(t)?

L'amplitude A>0, la pulsation ω>0 et la phase ϕ.

Quel signal complexe est associé à s(t)=A cos(ωt+ϕ)?

Le signal complexe s(t)=Ae^{i(ωt+ϕ)}.

Que donne la partie réelle du signal complexe s(t)=Ae^{i(ωt+ϕ)}?

Le signal sinusoïdal réel s(t)=A cos(ωt+ϕ).

Comment s'écrit le signal complexe en posant A=Ae^{iϕ}?

s(t)=A e^{iωt} avec A amplitude complexe.

Que représente le module et l'argument de l'amplitude complexe A?

Le module est A et l'argument est ϕ.

Comment additionne-t-on des signaux sinusoïdaux de même pulsation?

On additionne leurs amplitudes complexes puis on multiplie par e^{iωt} et prend la partie réelle.

Quelle est la dérivée du signal complexe s(t)=A e^{iωt}?

ds/dt = iωA e^{iωt}.

Que vaut la somme des amplitudes complexes de trois tensions sinusoïdales déphasées de 2π/3?

Cette somme est nulle.

Que vérifie la différentielle df pour une fonction d'une variable ?

df = f′(x) dx.

Que représente la différentielle df d'une fonction d'une variable ?

La variation infinitésimale de f quand x varie de dx.

Qu'est-ce qu'une intégrale en termes de variations infinitésimales ?

Une somme continue de variations infinitésimales dF = f(x) dx.

Quelle est la relation entre une intégrale définie et une primitive ?

∫_a^b f(x) dx = F(b) − F(a) si F est une primitive de f.

Comment se définit la dérivée partielle de f(x,y) par rapport à x ?

C'est la dérivée en considérant y comme constante, notée (∂f/∂x)_y.

Que dit le théorème de Schwarz sur les dérivées partielles secondes ?

Elles se commutent : ∂²f/∂x∂y = ∂²f/∂y∂x.

Quelle est la formule de la différentielle de f(x,y) ?

df = (∂f/∂x)_y dx + (∂f/∂y)_x dy.

Quand une forme différentielle ω = A dx + B dy est-elle une différentielle totale exacte ?

Si ∂A/∂y = ∂B/∂x.

Quelle est la formule de la différentielle d'une fonction de plusieurs variables ?

df = (∂f/∂r)dr + (∂f/∂θ)dθ + (∂f/∂ϕ)dϕ.

Quelle est la dérivée de S = πR² par rapport à R ?

S′(R) = 2πR.

Quelle est la dérivée de V = 4πR³/3 par rapport à R ?

V′(R) = 4πR².

Quelle est la différentielle de f = f₀(x/L)² avec f₀ et L constants ?

df = 2f₀x/L² dx.

Quelle est la différentielle de x = x₀ ln(T/T₀) avec x₀ et T₀ constants ?

dx = x₀ dT/T.

Quelle est la règle de la chaîne pour des variables dépendantes ?

df = (df/dx)(dx/dT)dT.

Quelle est l'expression de la pression P pour un gaz parfait d'une mole ?

P = RT/V.

Quelle est la différentielle de la pression P dans un gaz parfait d'une mole ?

dP = (R/V)dT − (RT/V²)dV.

Comment s'écrit une forme différentielle de deux variables x et y ?

ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy.

Quelle condition doivent vérifier A et B pour que ω soit une différentielle totale exacte ?

∂A/∂y = ∂B/∂x.

Quelle est la première étape pour reconstruire f à partir d'une différentielle totale exacte ?

Poser A = ∂f/∂x ou B = ∂f/∂y.

Que fait-on après avoir intégré A ou B pour retrouver f ?

On compare l'expression obtenue avec l'autre dérivée partielle.

Quelle fonction f correspond à la différentielle ω = 2(x+y)dx + (2x−2y+1)dy ?

f(x,y) = x² + 2xy − y² + y.

Quelle équation obtient-on en intégrant la forme différentielle du gaz réel ?

L'équation de van der Waals (p + a/V²)(V−b) = RT.