ḟ(t)
Erklärung
La notation ḟ(t) est réservée à une dérivation par rapport au temps, tandis que f′(x), df/dx(x) et d/dx f(x) indiquent une dérivation par rapport à une variable d’espace (ici x).
(g∘f)′(x)=g′[f(x)]×f′(x)
Erklärung
La dérivée d’une composée s’obtient par la règle de la chaîne : on multiplie g′[f(x)] par f′(x). Une addition ou une division correspondrait à une règle différente.
αx^(α−1)
Erklärung
Pour α réel, on a (x^α)′=αx^(α−1) sur le domaine où cette fonction est définie. Les autres propositions ne correspondent pas à la formule donnée.
y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀)
Erklärung
La tangente en x₀ a pour équation y=f′(x₀)(x−x₀)+f(x₀). Les autres choix confondent les rôles de f(x₀) et f′(x₀).
F vérifie F′(x)=f(x) pour tout x∈I
Erklärung
Une primitive F d’une fonction continue f sur I est définie par la relation F′(x)=f(x) pour tout x de l’intervalle. Une primitive n’est pas une intégrale définie (qui est un nombre).
F(x)+C avec C constante
Erklärung
Toutes les primitives de f s’écrivent F(x)+C où C est une constante réelle. Une condition qui fixerait la constante ferait en effet perdre cette famille, mais ici on demande l’ensemble général.
x^(α+1)/(α+1)+C
Erklärung
Pour α≠−1, une primitive de x^α est x^(α+1)/(α+1)+C. Les autres formules ne respectent pas le facteur (α+1) au bon endroit.
Elle est positive
Erklärung
Une intégrale définie représente une aire algébrique : elle est positive lorsque la fonction est au-dessus de l’axe y=0. En dessous de l’axe, elle deviendrait négative.
a f′(x)+b f(x)=Φ(x) avec a≠0
Erklärung
Une équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants s’écrit a f′(x)+b f(x)=Φ(x) avec a≠0. Les autres propositions changent l’ordre ou la structure de l’équation.
On détermine une solution homogène, une solution particulière, puis on additionne f=f_H+f_P
Erklärung
La résolution consiste à trouver la solution homogène f_H, une solution particulière f_P, puis leur somme f=f_H+f_P. La solution particulière ne remplace pas la homogène dans la solution générale.
f_H(x)=K exp(−bx/a)
Erklärung
Pour a f′+b f=0, l’équation caractéristique ar+b=0 conduit à f_H(x)=K exp(−bx/a). Les autres choix modifient le rapport entre b et a dans l’exponentielle.
Pour sélectionner une constante et obtenir l’unique solution de la solution générale avec second membre
Erklärung
Une condition initiale ou aux bords s’applique à la solution générale avec second membre afin de déterminer la constante et obtenir l’unique solution. Sans cette condition, la constante reste indéterminée.
a est non nul et a, b, c sont des constantes
Erklärung
Pour une équation linéaire homogène du deuxième ordre à coefficients constants, on a a≠0 et a, b, c sont constants. Les autres choix ne correspondent pas à l’expression donnée ou rendent l’ordre non valide.
ar²+br+c=0 avec Δ=b²−4ac
Erklärung
L’équation caractéristique associée est ar²+br+c=0, et son discriminant vaut Δ=b²−4ac. Les distracteurs modifient soit le signe, soit la formule du discriminant.
f(t)=exp(λt)[A cos(ωt)+B sin(ωt)] et le régime est pseudo-périodique
Erklärung
Quand Δ<0, la solution réelle s’écrit sous la forme exponentielle fois trigonométrique et le régime est pseudo-périodique. Les autres choix correspondent respectivement aux cas Δ>0 ou Δ=0, ou à un régime différent.
Deux
Erklärung
Une équation différentielle homogène du deuxième ordre admet deux constantes à déterminer, donc elle nécessite deux conditions initiales (ou aux limites). Les autres nombres ne suffisent pas ou imposent trop de contraintes.
√(x²+y²+z²)
Erklärung
Dans une base cartésienne orthonormée, la norme vaut √(x²+y²+z²). Les distracteurs proposent soit une somme, soit une expression non conforme à la définition de la norme.
x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂
Erklärung
Le produit scalaire vaut x₁x₂+y₁y₂+z₁z₂, ce qui correspond aussi à ||u⃗||||v⃗|| cos(û,v⃗). Les autres choix correspondent à des opérations différentes, comme le produit vectoriel ou des produits de normes sans cosinus.
(y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂)
Erklärung
Les composantes sont (y₁z₂−z₁y₂, z₁x₂−x₁z₂, x₁y₂−y₁x₂). Le distracteur basé sur une permutation de signes donne une expression différente de celle du produit vectoriel.
Il est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ et sa norme vaut ||u⃗||||v⃗|| |sin(û,v⃗)|
Erklärung
Le produit vectoriel est perpendiculaire aux deux vecteurs de départ et sa norme vaut ||u⃗||||v⃗|| |sin(û,v⃗)|. Les distracteurs remplacent le sinus par le cosinus ou changent la géométrie (perpendicularité/parallelisme).
Il est perpendiculaire au plan qu’ils définissent et donc orthogonal à chacun d’eux
Erklärung
Le produit vectoriel est orthogonal au plan formé par les deux vecteurs, donc orthogonal à chacun d’eux. Le distracteur confond produit vectoriel et produit scalaire (qui donne un nombre).
||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| |sin(∠(u,v))| et cela représente l’aire du parallélogramme
Erklärung
La norme vérifie ||u ∧ v|| = ||u|| ||v|| |sin(∠(u,v))| et elle correspond à l’aire du parallélogramme. Les distracteurs remplacent sin par cos ou attribuent une grandeur géométrique incorrecte.
Ses vecteurs sont unitaires, deux à deux orthogonaux et vérifient e3 = e1 ∧ e2
Erklärung
Une base orthonormée directe est définie par des vecteurs unitaires orthogonaux et la relation e3 = e1 ∧ e2. Les autres propositions inversent la relation d’orientation ou ne respectent pas l’orthonormalité.
e1 = e2 ∧ e3
Erklärung
Dans une base orthonormée directe, on a notamment e1 = e2 ∧ e3. Les distracteurs changent l’ordre du produit vectoriel, ce qui modifie le signe, ou utilisent une identité incorrecte.
La hauteur du point M mesurée le long de l’axe Oz
Erklärung
La coordonnée z mesure HM, où H est la projection orthogonale de M sur le plan Oxy, donc c’est la hauteur le long de Oz. Les autres propositions correspondent à ρ ou à ϕ.
OM = ρ eρ + z ez
Erklärung
En coordonnées cylindriques, le vecteur position s’écrit OM = ρ eρ + z ez. Le vecteur selon eϕ n’apparaît pas dans cette écriture.
dℓ = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez
Erklärung
Le déplacement élémentaire cylindrique est dℓ = dρ eρ + ρ dϕ eϕ + dz ez. La composante selon eϕ est proportionnelle à ρ dϕ.
θ est l’angle entre ez et OM
Erklärung
En coordonnées sphériques, θ = ∠(ez, OM). Les autres choix ne correspondent pas à la définition donnée.
Le carré de i vaut −1, assurant la cohérence de la partie imaginaire
Erklärung
La condition i² = −1 signifie qu'i est la racine carrée de −1 et justifie la construction z = x + iy. Les autres propositions détournent cette relation vers d’autres grandeurs.
z = ρ e^{iϕ} avec ρ = |z| et ϕ = arg(z)
Erklärung
La forme exponentielle s’écrit z = ρ e^{iϕ} = ρ(cosϕ + i sinϕ), avec ρ = |z| et ϕ = arg(z). Les autres choix inversent ou mal placent les rôles de ρ et ϕ.
z̄ = x − iy
Erklärung
Le conjugué s’obtient en changeant le signe de la partie imaginaire : z̄ = x − iy. Les choix proposant le même signe de iy correspondent au nombre initial, pas au conjugué.
|z| = √(z z̄)
Erklärung
Le module vérifie |z| = √(z z̄). Les autres propositions soit ne donnent pas une quantité réelle correcte, soit mélangent le module avec une opération de quotient.
ϕ est la phase à l’instant t = 0 (phase à l’origine)
Erklärung
Le signal est caractérisé par la phase à l’origine ϕ, c’est-à-dire la phase quand t = 0. La phase instantanée serait ωt + ϕ, donc l’option qui l’écrit ainsi est fausse.
La partie réelle de A e^{i(ωt+ϕ)} redonne A cos(ωt+ϕ)
Erklärung
Par construction, la partie réelle du signal complexe Ae^{i(ωt+ϕ)} redonne le signal réel A cos(ωt+ϕ). Les autres propositions confondent partie imaginaire ou valeur absolue avec la cosinus.
On additionne d’abord les amplitudes complexes, puis on réintroduit e^{iωt} et on prend la partie réelle
Erklärung
Avec une même pulsation ω, on additionne (ou soustrait) les amplitudes complexes, on remet le facteur temporel e^{iωt}, puis on prend la partie réelle. Les autres propositions ne respectent pas cette procédure de sommation complexe.
La variation infinitésimale de f lorsque x varie de dx
Erklärung
La différentielle df = f′(x)dx correspond à la variation infinitésimale de f quand x change de dx. Elle est donc liée à la dérivée, mais ne doit pas être confondue avec autre chose qu’une variation infinitésimale.
On dérive f par rapport à x en considérant y comme une constante
Erklärung
La notation (∂f/∂x)_y indique que y est tenue constante pendant la dérivation par rapport à x. L’option correcte capture ce mécanisme, contrairement aux autres qui inversent ou mélangent les variables.
∂A/∂y = ∂B/∂x
Erklärung
Une différentielle totale exacte impose la condition de Cauchy : ∂A/∂y = ∂B/∂x. Les autres relations comparent des dérivées partielles avec les mauvais ordres.
∂A/∂y = ∂B/∂x
Erklärung
Une différentielle totale exacte vérifie l’égalité des dérivées croisées : ∂A/∂y doit être égal à ∂B/∂x. Les autres propositions mélangent les dérivées dans le mauvais ordre.
df = (∂f/∂r)dr + (∂f/∂θ)dθ + (∂f/∂ϕ)dϕ
Erklärung
La différentielle de f s’obtient en additionnant les contributions de chaque variable : dérivée partielle fois différentielle correspondante. Les autres propositions oublient la multiplication par dr, dθ et dϕ ou changent les signes.
df = (df/dx)(dx/dT)dT
Erklärung
La règle de la chaîne fait intervenir une multiplication des dérivées : (df/dx)(dx/dT)dT. Les autres choix combinent mal les termes, comme une addition au lieu d’un produit.
dP = (R/V)dT − (RT/V²)dV
Erklärung
En écrivant P = RT/V puis en différentiant, on obtient dP = (R/V)dT − (RT/V²)dV. Les autres options échangent les rôles de dT et dV ou donnent des coefficients non conformes.
ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy
Erklärung
Une forme différentielle à deux variables prend la forme ω = A(x,y)dx + B(x,y)dy. Les distracteurs modifient la structure en échangeant dx/dy ou en regroupant autrement les termes.
∂A/∂y = ∂B/∂x
Erklärung
La condition d’exactitude impose ∂A/∂y = ∂B/∂x. Les autres choix comparent les mauvaises dérivées partielles (x avec x au lieu de y avec x, ou y avec y).
f(x,y) = x² + 2xy − y² + y
Erklärung
Dans ce cas, la relation de Cauchy est vérifiée et une fonction dont la différentielle est ω est f(x,y) = x² + 2xy − y² + y. Les autres propositions modifient des signes ou des coefficients, ce qui changerait les dérivées partielles.
Merke dir die Antworten mit 89 Karteikarten zu Vecteurs, coordonnées et nombres complexes.
Quelles notations désignent la dérivée par rapport à x ?
f′(x), df/dx(x) et d/dx f(x).
À quoi sert la notation ḟ(t) en dérivation ?
Elle désigne la dérivée par rapport au temps.
Quelle est la formule de la dérivée d'un produit uv ?
(uv)′=u′v+uv′.
Lies den vollständigen Lernzettel zu Vecteurs, coordonnées et nombres complexes.
Lernzettel ansehen →Importiere deinen Kurs und die KI erstellt in 30 Sekunden Quizze mit Korrekturen.
Quiz-Generator