Structures fondamentales en algèbre

📋 Plan du Cours

1. Corps et anneaux
2. Théorème de Lagrange
3. Théorème de Bézout
4. Systèmes linéaires
5. Anneau quotient
6. Anneau des entiers modulo n
7. Inverse dans ℤ/nℤ
8. Caractéristique d’un anneau
9. Corps des fractions
10. Diviseurs de zéro
11. Théorème chinois

📖 1. Corps et anneaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Corps : ****(source : définition standard)**. Un ensemble 𝐾 muni de deux lois (+, ×) est un corps si (𝐾, +, ×) est un anneau unitaire et si (𝐾∗, ×) est un groupe, c’est-à-dire que tout élément non nul possède un inverse multiplicatif.
• Sous-corps : (source : définition standard). Partie 𝐾 d’un corps 𝐿 qui est un sous-anneau de 𝐿, contenant 1, et fermée par inversion pour tout élément non nul.
• Anneau quotient : (source : définition standard). Structure formée par l’ensemble des classes d’un anneau 𝐴 par rapport à un idéal bilatère 𝐼, avec opérations bien définies, formant un nouvel anneau, souvent noté 𝐴/𝐼.
• Corps des fractions : (source : définition standard). Pour un anneau intègre 𝐴, le corps 𝐹𝑟(𝐴) est constitué des fractions 𝑎/𝑏 avec 𝑎 ∈ 𝐴 et 𝑏 ∈ 𝐴∗, construit via une relation d’équivalence sur 𝐴 × (𝐴 \ {0𝐴}) (voir construction détaillée).
• Propriété : Un corps est un anneau unitaire et intègre, où chaque élément non nul est inversible, ce qui implique que 𝒰(𝐾) = 𝐾∗ (source : proposition).
• Exemples : ℂ, ℚ, ℝ sont des corps. ℚ et ℝ sont des sous-corps de ℂ…