Fonction Inverse : Analyse et Dérivées

📋 Plan du Cours

1. Définition et dérivée de la fonction inverse
2. Variations et décroissance sur ℝ*
3. Hyperbole et symétrie par rapport à l’origine
4. Dérivée de la composition avec une fonction inverse
5. Dérivée du quotient de deux fonctions
6. Limites à l’infini et asymptote horizontale
7. Limites en zéro et asymptotes verticales

📖 1. Définition et dérivée de la fonction inverse

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction inverse : La fonction inverse associe à tout réel x non nul son inverse, soit f(x)=1/x.
• Ensemble de définition ℝ* : L’ensemble de définition de la fonction inverse est ℝ privé de 0, noté ℝ*.
• Dérivabilité sur ℝ* : La fonction inverse est dérivable pour tout x appartenant à ℝ*.
• Dérivée de 1/x : La dérivée de la fonction inverse vaut f'(x)=-1/x² pour tout x non nul.

📝 Points essentiels

• La fonction inverse est définie sur ]-∞;0[ ∪ ]0;+∞[.
• La formule de la fonction inverse est f(x)=1/x.
• La fonction inverse n’est pas linéaire.
• Pour tout x≠0, on a x²>0 donc f'(x)<0.
• La dérivée de h(x)=-1/(2x) se calcule en réécrivant h(x)=-(1/2)·(1/x) puis en utilisant la dérivée de 1/x.

💡 Astuce mémo

Inverse = “1 sur x” : quand x grandit, 1/x rapetisse ; quand x approche 0, 1/x explose.

📖 2. Variations et décroissance sur ℝ*

🔑 Notions clés & Définitions