Revision sheet: Fondamentaux de mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Fonctions trigonométriques
2. Géométrie dans l’espace
3. Continuité et valeurs intermédiaires
4. Concentration et loi des grands nombres
5. Loi des grands nombres
6. Primitives et équations différentielles
7. Modèles de croissance bactérienne
8. Intégrales et applications
9. Notions clés du programme
10. Dérivation et convexité
11. Variables aléatoires et logarithmes
12. Trigonométrie et géométrie spatiale

📖 1. Fonctions trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Cosinus et sinus : Si M est le point associé à x sur le cercle trigonométrique, alors ses coordonnées sont M(cos(x);sin(x)).
• Mesure en radian : D’un angle orienté est le réel obtenu en associant cet angle à un point d’un cercle orienté de centre O et de rayon 1 par enroulement de la droite des réels.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

• Les réels x+2kπ, avec k∈Z, repèrent le même point du cercle, et la mesure principale est l’unique mesure appartenant à ]-π;π].

📐 Formule — Pour un angle de mesure α en degrés avec 0≤α≤360 et de mesure x en radians dans [0;2π], on a x=απ/180.

📐 Formule — Pour tout réel x, -1≤cos(x)≤1, -1≤sin(x)≤1 et cos²(x)+sin²(x)=1.

📌 Pour résoudre cos(A(x))=cos(B(x)), on utilise A(x)=B(x)+2kπ ou A(x)=-B(x)+2kπ, avec k∈Z; pour sin(A(x))=sin(B(x)), on utilise A(x)=B(x)+2kπ ou A(x)=π-B(x)+2kπ.

📌 La fonction cosinus est paire et 2π-périodique, tandis que la fonction sinus est impaire et 2π-périodique.

📐 Formule — Sur R, sin'(x)=cos(x) et cos'(x)=-sin(x); si u est dérivable, (sin(u))'=u'cos(u) et (cos(u))'=-u'sin(u).

Compléments

📐 Formule — Pour tout réel x, cos(-x)=cos(x), sin(-x)=-sin(x), cos(x+π)=-cos(x) et sin(x+π)=-sin(x).

📐 Formule — Pour tous réels a et b, cos(a+b)=cos(a)cos(b)-sin(a)sin(b) et sin(a+b)=sin(a)cos(b)+sin(b)cos(a).

• La fonction sinus est strictement croissante sur [0;π/2], strictement décroissante sur [π/2;3π/2], puis strictement croissante sur [3π/2;2π].

🔄 Processus — Pour étudier h(x)=e^{-x}(1-cos(x)) sur [0;2π], on utilise h(0)=h(2π)=0, h(π/2)=e^{-π/2}, puis le signe de h'(x)=e^{-x}(-1+cos(x)+sin(x)) pour établir les variations.

💡 Astuce mémo

Cercle → propriétés → équations

📖 2. Géométrie dans l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Représentation paramétrique : Une droite de l’espace passant par A(xA;yA;zA) et de vecteur directeur (a;b;c) admet la représentation x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct, avec t∈R.
• Équation cartésienne d’un plan : Un plan de vecteur normal (a;b;c) passant par A(xA;yA;zA) a pour équation ax+by+cz+d=0, avec d=-(axA+byA+czA).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Un point M appartient à un plan de vecteur normal n si et seulement si le vecteur AM est orthogonal à n.

🔄 Processus — Pour déterminer le projeté orthogonal H d’un point B sur une droite, on écrit une représentation paramétrique de la droite puis on impose que H appartienne au plan passant par B et de vecteur normal égal au vecteur directeur de la droite.

🔄 Processus — Pour déterminer le projeté orthogonal H d’un point B sur un plan P, on écrit la droite passant par B et dirigée par un vecteur normal à P, puis on résout son intersection avec P.

Compléments

• Dans une représentation x=α+at, y=β+bt, z=γ+ct, le point (α;β;γ) appartient à la droite et le vecteur (a;b;c) en est un vecteur directeur.

• Un plan possède une infinité d’équations cartésiennes obtenues en multipliant tous les coefficients d’une équation par un même réel non nul.

📐 Formule — La distance d’un point B à un plan est la longueur BH, où H est le projeté orthogonal de B sur ce plan.

📐 Formule — Le volume d’un tétraèdre vaut un tiers du produit de l’aire de sa base par la hauteur correspondante.

💡 Astuce mémo

Droite, plan, projection

📖 3. Continuité et valeurs intermédiaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Continuité : Une fonction f définie sur un intervalle contenant a est continue en a si lim lorsque x tend vers a de f(x)=f(a), et elle est continue sur l’intervalle si elle y est continue en tout point.
• Théorème des valeurs intermédiaires : Si f est définie et continue sur [a;b], alors toute valeur réelle k comprise entre f(a) et f(b) est atteinte au moins une fois par f sur [a;b].

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Toute fonction dérivable sur un intervalle y est continue, mais une fonction continue peut ne pas être dérivable, comme la fonction valeur absolue en 0.

📌 Si u(n+1)=f(u(n)), si la suite u(n) converge vers l et si f est continue en l, alors f(l)=l.

📌 Si f est continue et strictement monotone sur [a;b], toute valeur comprise entre f(a) et f(b) possède un unique antécédent dans [a;b].

Compléments

• Les fonctions affines, carrée, inverse, polynomiales, rationnelles, racine carrée, valeur absolue, sinus, cosinus, exponentielle et logarithme népérien, ainsi que leurs sommes, produits, quotients et composées, sont continues sur tout intervalle inclus dans leur domaine de définition.

🔄 Processus — La dichotomie consiste à partir d’un intervalle [a;b] contenant une solution, à calculer son milieu c, à conserver la moitié où le changement de signe se produit, puis à répéter jusqu’à obtenir l’amplitude voulue.

💡 Astuce mémo

Continuité → existence → unicité

📖 4. Concentration et loi des grands nombres

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour une variable aléatoire positive X et tout réel a>0, l’inégalité de Markov donne P(X≥a)≤E(X)/a.

📐 Formule — Pour une variable aléatoire X d’espérance μ et de variance V(X), l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne, pour tout x>0, P(|X-μ|≥x)≤V(X)/x².

📐 Formule — Si Sn suit une loi binomiale de paramètres n et p, alors E(Sn)=np, V(Sn)=np(1-p) et σ(Sn)=√(np(1-p)).

Compléments

📐 Formule — Pour tout entier naturel non nul k, P(|X-μ|≥kσ(X))≤1/k².

💡 Astuce mémo

Écart → variance → moyenne

📖 5. Loi des grands nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Loi des grands nombres : Affirme que, lorsque n tend vers l’infini, la probabilité que la moyenne empirique M_n s’écarte de l’espérance μ de plus de x tend vers 0 pour tout x>0.
• Intervalle de confiance : Si P(p∈[M_n-x;M_n+x])≥1-α, alors [M_n-x;M_n+x] est un intervalle de confiance de p au seuil 1-α.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un échantillon de variables aléatoires identiques, indépendantes et de même loi que X, la moyenne empirique M_n=(X_1+...+X_n)/n vérifie P(|M_n-μ|≥x)≤V(X)/(nx²) pour tout x>0.

📐 Formule — La variance de la moyenne empirique de n variables aléatoires identiques, indépendantes et de variance V(X) est V(M_n)=V(X)/n.

📌 Pour estimer une probabilité p avec une précision x et un risque α, il suffit de choisir n tel que 0,25/(nx²)≤α.

Compléments

📐 Formule — Pour une variable de Bernoulli de paramètre p, la variance vérifie V(X)=p(1-p)≤0,25.

💡 Astuce mémo

Moyenne → espérance quand n grand

📖 6. Primitives et équations différentielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Primitive : Une fonction F est une primitive d’une fonction continue f sur un intervalle I si F est dérivable sur I et si F'(x)=f(x) pour tout x∈I.
• Équation différentielle : Du premier ordre est une équation dans laquelle l’inconnue est une fonction et qui relie cette fonction à sa dérivée.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si F est une primitive de f sur I, l’ensemble des primitives de f sur I est constitué des fonctions F+k, où k est une constante réelle.

📐 Formule — Une primitive de u'u^n est u^{n+1}/(n+1)+k pour n∈N, et une primitive de u'e^u est e^u+k.

📐 Formule — Les solutions de y'+ay=0 sont y(x)=ke^{-ax}, où k est une constante réelle.

📐 Formule — Si a≠0, les solutions de y'+ay=b sont y(x)=ke^{-ax}+b/a, tandis que si a=0 elles sont y(x)=bx+k.

Compléments

🔄 Processus — La solution générale de y'+ay=f(x) s’obtient en ajoutant une solution particulière de cette équation à la solution générale de l’équation homogène y'+ay=0.

💡 Astuce mémo

Primitive = dérivée inversée

📖 7. Modèles de croissance bactérienne

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le modèle exponentiel g'(t)=ag(t) avec g(0)=N_0, la population est g(t)=N_0e^{at}.

📐 Formule — Le temps de doublement d’une population exponentielle vérifie T=ln(2)/a lorsque a>0.

📐 Formule — Le modèle logistique g'(t)=ag(t)(1-g(t)/M) se transforme, en posant y=1/g, en l’équation linéaire y'+ay=a/M.

📐 Formule — Une solution du modèle logistique s’écrit g(t)=M/(1+Ce^{-at}) avec C>1.

• Pour g(t)=M/(1+Ce^{-at}) avec a>0, la limite de g en +∞ est M et la courbe admet l’asymptote horizontale y=M.

Compléments

📌 La fonction logistique est strictement croissante, sa dérivée est positive, et sa vitesse d’accroissement devient décroissante après l’unique instant α tel que g(α)=M/2.

💡 Astuce mémo

Exponentielle puis limite logistique

📖 8. Intégrales et applications

🔑 Notions clés & Définitions

• Intégrale : Pour une fonction continue et positive sur [a;b], l’intégrale est l’aire du domaine compris entre sa courbe, l’axe des abscisses et les droites x=a et x=b.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📐 Formule — Si F est une primitive de f sur [a;b], alors ∫_a^b f(x)dx=F(b)-F(a).

📐 Formule — La valeur moyenne d’une fonction continue f sur [a;b] est μ=(1/(b-a))∫_a^b f(t)dt.

📐 Formule — L’intégration par parties vérifie ∫_a^b u'(x)v(x)dx=[u(x)v(x)]_a^b-∫_a^b u(x)v'(x)dx.

Compléments

📌 Si f≤g sur [a;b], alors ∫_a^b f(t)dt≤∫_a^b g(t)dt, et si m≤f≤M, la valeur moyenne vérifie m≤μ≤M.

📐 Formule — La relation de Chasles donne ∫_a^c f(t)dt+∫_c^b f(t)dt=∫_a^b f(t)dt lorsque a≤c≤b.

💡 Astuce mémo

Aire → primitive → intégrale

📖 9. Notions clés du programme

🔑 Notions clés & Définitions

• Partition d’un ensemble : Fini E est une famille de parties non vides deux à deux disjointes dont la réunion est E.
• Fonction convexe : Une fonction est convexe sur un intervalle si sa dérivée est croissante et, lorsqu’elle est deux fois dérivable, si sa dérivée seconde est positive sur cet intervalle.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le nombre d’arrangements de k éléments parmi n est n!/(n-k)!, tandis que le nombre de combinaisons est le coefficient binomial n!/(k!(n-k)!).

📐 Formule — Pour une loi de Bernoulli de paramètre p, E(X)=p, V(X)=p(1-p) et σ(X)=√(p(1-p)).

📐 Formule — Pour une loi binomiale de paramètres n et p, E(X)=np, V(X)=np(1-p) et σ(X)=√(np(1-p)).

📐 Formule — Dans un repère orthonormé de l’espace, le produit scalaire de u=(x;y;z) et v=(x';y';z') est u·v=xx'+yy'+zz'.

📌 Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul.

📖 10. Dérivation et convexité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé d’une fonction en x₀, lorsqu’il existe, est le coefficient directeur de la tangente à sa courbe représentative au point d’abscisse x₀.
• Fonction dérivée : F′ associe à chaque réel x d’un intervalle I le nombre dérivé de f en x, lorsque f est dérivable en tout point de I.
• Fonction convexe : Une fonction est convexe sur I si sa courbe est au-dessous de ses sécantes, au-dessus de ses tangentes, si f′ est croissante et si f″ est positive sur I.
• Fonction concave : Une fonction est concave sur I si sa courbe est au-dessus de ses sécantes, au-dessous de ses tangentes, si f′ est décroissante et si f″ est négative sur I.
• Point d’inflexion : Un point où la courbe traverse sa tangente et où la convexité change, ce qui correspond à une dérivée seconde qui s’annule en changeant de signe.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La tangente à la courbe de f au point d’abscisse x₀ a pour équation y = f′(x₀)(x − x₀) + f(x₀).

💡 Astuce mémo

Dérivée → tangente → convexité

📖 11. Variables aléatoires et logarithmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillon de taille n : Constitué de n variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées X₁, X₂, …, Xₙ suivant la même loi que X.
• Fonction exponentielle : L’unique fonction définie et dérivable sur ℝ telle que f′ = f et f(0) = 1, et elle est notée exp.
• Logarithme népérien : Ln est la bijection réciproque de la fonction exponentielle, définie de ]0 ; +∞[ vers ℝ, avec ln(x) = y si et seulement si x = eʸ.
• Somme de variables aléatoires : La somme de deux variables aléatoires réelles X et Y est la variable aléatoire qui associe à chaque issue ω le nombre X(ω) + Y(ω), notée X + Y.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour une variable aléatoire X prenant les valeurs xᵢ avec les probabilités pᵢ, E(X) = Σ pᵢxᵢ, V(X) = Σ pᵢ(xᵢ − E(X))² = Σ pᵢxᵢ² − (E(X))², et σ(X) = √V(X).

📐 Formule — La moyenne empirique de X₁, X₂, …, Xₙ est Mₙ = (X₁ + X₂ + … + Xₙ)/n.

💡 Astuce mémo

Moyenne, dispersion, fonctions réciproques

📖 12. Trigonométrie et géométrie spatiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction paire : Une fonction f est paire si son domaine contient −x avec x et si f(−x) = f(x) pour tout x, ce qui équivaut à une symétrie de sa courbe par rapport à l’axe des ordonnées.
• Fonction impaire : Une fonction f est impaire si son domaine contient −x avec x et si f(−x) = −f(x) pour tout x, ce qui équivaut à une symétrie de sa courbe par rapport à l’origine.
• Cercle trigonométrique : Un cercle de rayon 1 muni d’un sens de parcours positif correspondant au sens inverse des aiguilles d’une montre.
• Projeté orthogonal : De A sur une droite D est le point H de D tel que AH est normal à D, donc AH⃗ · u⃗ = 0, et la distance de A à D vaut AH.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La conversion des angles repose sur π radians = 180°, donc 1° = π/180 radians et a° = aπ/180 radians.

📐 Formule — Dans un repère orthonormal, une droite passant par A(xA ; yA ; zA) et de vecteur directeur (a ; b ; c) admet la représentation x = xA + at, y = yA + bt, z = zA + ct, avec t ∈ ℝ.

📐 Formule — Dans un repère orthonormal, un plan de vecteur normal (a ; b ; c) admet une équation cartésienne ax + by + cz + d = 0, avec d ∈ ℝ.

💡 Astuce mémo

Cercle, formules, coordonnées

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des fonctions trigonométriques

Propriété	Cosinus	Sinus
Parité	Paire : cos(-x)=cos(x)	Impaire : sin(-x)=-sin(x)
Période	2π	2π
Dérivée	cos'(x)=-sin(x)	sin'(x)=cos(x)

Estimation et fluctuation

Notion	Centre	Condition
Estimation de p	M_n	P(|M_n-p|>x)≤α
Intervalle de confiance	M_n	[M_n-x;M_n+x] au seuil 1-α
Intervalle de fluctuation	p	[p-x;p+x] au seuil 1-α

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. La mesure principale n’est pas nécessairement la mesure donnée initialement.
2. Le paramètre t décrit les points de la droite; il ne représente pas une coordonnée fixe.
3. La continuité n’implique pas nécessairement la dérivabilité.
4. L’inégalité exige que X soit à valeurs positives ou nulles.
5. La moyenne empirique ne possède pas la même variance que chaque variable observée.
6. Une primitive n’est pas unique : toutes les primitives diffèrent d’une constante.
7. Ce modèle suppose une croissance indéfinie et ne tient pas compte d’une capacité maximale.