Géométrie et Analyse du Plan Complexe

Fiche de révision : Nombres complexes et représentations dans le plan

1. 📌 L'essentiel

• Un nombre complexe : $z = a + ib$, avec $a = \Re(z)$, $b = \Im(z)$.
• La représentation géométrique : point $M(a, b)$ dans le plan, affixe $z$.
• Module : $|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$, correspond à la distance $OM$.
• Argument : $\arg(z)$, angle orienté dans $[- \pi, \pi]$.
• Forme trigonométrique : $z = \rho (\cos \alpha + i \sin \alpha)$, avec $\rho = |z|$, $\alpha = \arg(z)$.
• Forme exponentielle : $z = \rho e^{i\alpha}$, lien avec la formule d’Euler.
• Racines n-ièmes de l’unité : $z_k = e^{i(2k\pi/n)}$, pour $k=0..n-1$.
• La somme des racines de l’unité : forme un polygone régulier.
• Opérations : $\arg(z z') = \arg(z) + \arg(z')$, $\arg(z/z') = \arg(z) - \arg(z')$.
• La formule de Moivre : $(\cos \alpha + i \sin \alpha)^n = \cos n\alpha + i \sin n\alpha$.

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