Maîtrise des matrices et applications linéaires

📋 Plan du Cours

1. Représentation matricielle des vecteurs et familles
2. Matrice d'une application linéaire
3. Coordonnées et calcul de l'image
4. Noyau, image et rotations
5. Opérations sur les applications linéaires
6. Changement de base et matrices de passage
7. Rang des matrices et théorème du rang

📖 1. Représentation matricielle des vecteurs et familles

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice colonne d’un vecteur : La matrice \,\mathcal{M}_B(x)\, d’un vecteur $x$ dans une base $B$ est la colonne formée de ses coordonnées $(x_1,\dots,x_n)$.
• Matrice d’une famille de vecteurs : La matrice $\,\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)\,$ est celle dont la colonne $j$ contient les coordonnées de $u_j$ dans la base $B$.

📝 Points essentiels

• Si $E$ a pour base $B=(e_1,\dots,e_n)$ et $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$, alors $\mathcal{M}_B(x)=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$.
• Pour $A=\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)$, la matrice $A$ appartient à $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et chaque colonne est un vecteur de coordonnées.
• Les colonnes de $\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)$ sont les coordonnées des $u_j$ dans $B$, donc le nombre de colonnes vaut le nombre de vecteurs de la famille.
• Une matrice de taille $n\times p$ peut être vue comme la matrice d’une famille de $p$ vecteurs dans un e.v. de dimension $n$, mais elle n’impose pas l’e.v. exact ni le produit scalaire.

💡 Astuce mémo