Revision sheet: Maîtrise des matrices et applications linéaires

📋 Plan du Cours

1. Représentation matricielle des vecteurs et familles
2. Matrice d'une application linéaire
3. Coordonnées et calcul de l'image
4. Noyau, image et rotations
5. Opérations sur les applications linéaires
6. Changement de base et matrices de passage
7. Rang des matrices et théorème du rang

📖 1. Représentation matricielle des vecteurs et familles

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice colonne d’un vecteur : La matrice \,\mathcal{M}_B(x)\, d’un vecteur $x$ dans une base $B$ est la colonne formée de ses coordonnées $(x_1,\dots,x_n)$.
• Matrice d’une famille de vecteurs : La matrice $\,\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)\,$ est celle dont la colonne $j$ contient les coordonnées de $u_j$ dans la base $B$.

📝 Points essentiels

• Si $E$ a pour base $B=(e_1,\dots,e_n)$ et $x=\sum_{i=1}^n x_i e_i$, alors $\mathcal{M}_B(x)=\begin{pmatrix}x_1\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$.
• Pour $A=\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)$, la matrice $A$ appartient à $\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et chaque colonne est un vecteur de coordonnées.
• Les colonnes de $\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)$ sont les coordonnées des $u_j$ dans $B$, donc le nombre de colonnes vaut le nombre de vecteurs de la famille.
• Une matrice de taille $n\times p$ peut être vue comme la matrice d’une famille de $p$ vecteurs dans un e.v. de dimension $n$, mais elle n’impose pas l’e.v. exact ni le produit scalaire.

💡 Astuce mémo

Colonnes = objets : $p$ vecteurs \u2192 $p$ colonnes, et dimension $n$ \u2192 $n$ lignes.

📖 2. Matrice d'une application linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de $f$ relativement à $B$ et $C$ : La matrice $\mathcal{M}_{B,C}(f)$ est la matrice de la famille $(f(e_1),\dots,f(e_p))$ exprimée dans la base $C$.
• Application linéaire canoniquement associée à une matrice : Une matrice $M\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ correspond à une application linéaire $f\in\mathcal{L}(\mathbb{K}^p,\mathbb{K}^n)$ quand on prend les bases canoniques de $\mathbb{K}^p$ et $\mathbb{K}^n$.

📝 Points essentiels

• Si $\dim E=p$ avec $B=(e_1,\dots,e_p)$ et $\dim F=n$ avec $C=(f_1,\dots,f_n)$, alors $\mathcal{M}_{B,C}(f)\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$.
• Les colonnes de $\mathcal{M}_{B,C}(f)$ sont les coordonnées de $f(e_i)$ dans la base $C$.
• Pour $x=\sum_{i=1}^p x_i e_i$, on a $f(x)=\sum_{i=1}^p x_i f(e_i)$, donc $f(x)$ est déterminée par les colonnes de $\mathcal{M}_{B,C}(f)$.
• Si $E=F$ et $B=C$, alors la matrice de $f$ se note aussi $\mathcal{M}_B(f)$ pour $f\in\mathcal{L}(E)$.
• Pour $\mathrm{Id}_E$, la matrice $\mathcal{M}_B(\mathrm{Id}_E)$ est l’identité sur la base $B$ (matrice identité $n\times n$).

💡 Astuce mémo

Colonnes de $\mathcal{M}_{B,C}(f)$ = images des $e_i$ écrites dans $C$.

📖 3. Coordonnées et calcul de l'image

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées de $x\in E$ dans une base $B$ sont le vecteur $X=\mathcal{M}_B(x)$ formé des coefficients de $x$ sur $B$.
• Formule image via matrice : Si $A=\mathcal{M}_{B,C}(f)$, alors les coordonnées $Y$ de $f(x)$ dans $C$ s’obtiennent à partir des coordonnées $X$ de $x$ dans $B$.

📝 Points essentiels

• Si $X=\mathcal{M}_B(x)$, $Y=\mathcal{M}_C(y)$ et $A=\mathcal{M}_{B,C}(f)$, alors $Y=AX$.
• La multiplication $AX$ donne directement les coordonnées de $f(x)$ dans la base cible $C$ sans recalculer $f$ sur toute une décomposition.
• Pour une application $f$ et une base canonique, les coordonnées coïncident avec les coordonnées usuelles, ce qui simplifie le calcul de $Y=AX$.
• L’exercice « $P(X+1)$ » s’exprime en utilisant la matrice de $f$ dans la base $B=(1,X,X^2,X^3)$ pour obtenir les coordonnées de $f(P)$.

💡 Astuce mémo

$\text{coordonnées de }f(x)$ = $\text{matrice de }f$ \u00d7 $\text{coordonnées de }x$ : $Y=AX$.

📖 4. Noyau, image et rotations

🔑 Notions clés & Définitions

• Noyau d’une application linéaire : Le noyau $\mathrm{Ker}(f)$ est l’ensemble des vecteurs $x$ tels que $f(x)=0$.
• Image d’une application linéaire : L’image $\mathrm{Im}(f)$ est l’ensemble des vecteurs atteints par la forme $f(x)$ quand $x$ parcourt l’espace de départ.
• **Rotation vectorielle d’angle $\theta** : La rotation vectorielle d’angle$\theta$est une application linéaire du plan qui envoie chaque vecteur$\vec{OM}$sur$\vec{OM'}$après rotation de centre$O$et d’angle$\theta$.

📝 Points essentiels

• Pour trouver $\mathrm{Ker}(f)$ à partir de $A=\mathcal{M}_{B,C}(f)$, on résout le système matriciel équivalent à $AX=0$.
• Pour trouver $\mathrm{Im}(f)$ à partir de $A$, on détermine l’ensemble des vecteurs $AX$ quand $X$ parcourt les colonnes/coordonnées possibles dans la base choisie.
• Toute matrice $M\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ définit une application linéaire canoniquement associée, ce qui rend la recherche du noyau et de l’image « matricielle ».
• Dans le repère orthonormé $(O,\vec{i},\vec{j})$, la matrice de la rotation vectorielle d’angle $\theta$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$ se déduit de $f_\theta(\vec{i})$ et $f_\theta(\vec{j})$.
• Les coordonnées du point $M'$ satisfont $\vec{OM'}=f_\theta(\vec{OM})$ et s’obtiennent en appliquant la matrice de la rotation aux coordonnées de $M$.

💡 Astuce mémo

Noyau = solutions de $AX=0$ ; Image = vecteurs de la forme $AX$.

📖 5. Opérations sur les applications linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Isomorphisme $f\mapsto \mathcal{M}_{B,C}(f)$ : L’application qui à toute application linéaire $f$ associe sa matrice $\mathcal{M}_{B,C}(f)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
• Produit matriciel et composition : Le produit de matrices correspond à la composition d’applications linéaires entre des espaces de dimensions compatibles.
• Matrice d’un isomorphisme : Pour $f\in\mathcal{L}(E,F)$ de même dimension, $f$ bijective équivaut à une matrice associée inversible.

📝 Points essentiels

• L’application $\varphi:\mathcal{L}(E,F)\to\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K}),\ f\mapsto \mathcal{M}_{B,C}(f)$ est un isomorphisme d’espaces vectoriels.
• Si $\dim E=p$ et $\dim F=n$, alors $\dim\mathcal{L}(E,F)=np$, et en particulier $\dim\mathcal{L}(E)=n^2$.
• Si $f,g$ sont compatibles (au sens des dimensions), alors la matrice associée à la composée correspond au produit des matrices associées.
• Pour $\dim E=\dim F=n$ et $A=\mathcal{M}_{B,C}(f)$, on a $f$ bijective $\Longleftrightarrow$ $A$ inversible, et alors $A^{-1}=\mathcal{M}_{C,B}(f^{-1})$.
• Pour un endomorphisme $f\in\mathcal{L}(E)$ avec matrice $A=\mathcal{M}_B(f)$, $f$ est un automorphisme ssi $A$ est inversible et $A^{-1}=\mathcal{M}_B(f^{-1})$.
• Les formules de changement de bases relient aussi les matrices des mêmes applications linéaires, ce qui permet de recomposer des opérations via les bonnes bases.

💡 Astuce mémo

Bijective $\Leftrightarrow$ inversible : $f$ ↔ $A$, et $f^{-1}$ ↔ $A^{-1}$.

📖 6. Changement de base et matrices de passage

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice de passage $P_{B\to C}$ : La matrice de passage $P_{B\to C}$ est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs de $C$ exprimés dans la base $B$.
• Relation des coordonnées : $X=PY$ : Si $P=P_{B\to C}$, $X=\mathcal{M}_B(x)$ et $Y=\mathcal{M}_C(x)$, alors $X=PY$ relie les coordonnées de $x$ dans deux bases.
• Formule de changement de bases des matrices : La matrice d’une application dépend des bases, et la nouvelle matrice s’obtient en combinant les matrices de passage des espaces de départ et d’arrivée.

📝 Points essentiels

• La j-ième colonne de $P_{B\to C}$ contient les coordonnées du $j$-ième vecteur de $C$ dans la base $B$, donc $P_{B\to C}\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$.
• $P_{B\to C}\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $P_{B\to C}^{-1}=P_{C\to B}$.
• Si $P=P_{B\to C}$, alors pour $x\in E$ on a $X=PY$ entre coordonnées $B$ et $C$.
• Si $A=\mathcal{M}_{B,C}(f)$ et $A'=\mathcal{M}_{B',C'}(f)$ avec $P=P_{B\to B'}$ et $Q=P_{C\to C'}$, alors $A'=Q^{-1}AP$.
• Pour $f\in\mathcal{L}(E)$, le changement de base transforme $A$ en $A'$ via la matrice de passage $P$ de $E$ (application à la bonne formule de changement de bases).

💡 Astuce mémo

Passage : inverse dans la cible, produit pour la source : $A'=Q^{-1}AP$.

📖 7. Rang des matrices et théorème du rang

🔑 Notions clés & Définitions

• Rang d’une matrice : Le rang $\mathrm{rg}(A)$ est la dimension de l’espace engendré par les vecteurs colonnes de $A$.
• Théorème du rang : Le théorème du rang relie noyau et image pour une matrice ou une application linéaire via une somme de dimensions.
• Matrices équivalentes en lignes : Deux matrices équivalentes en lignes ont le même rang car les opérations sur les lignes ne changent pas l’espace engendré par les colonnes.
• Critère d’inversibilité par le rang : Une matrice carrée est inversible exactement quand son rang atteint $n$, soit le rang maximal.

📝 Points essentiels

• Si $A\in\mathcal{M}_{n,p}(\mathbb{K})$ et $C_1,\dots,C_p$ sont ses colonnes, alors $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(C_1,\dots,C_p)=\dim(\mathrm{Vect}(C_1,\dots,C_p))$.
• On a toujours $\mathrm{rg}(A)\le \min(n,p)$ pour une matrice $n\times p$.
• Le théorème du rang matriciel donne $\dim(\mathrm{Ker}A)+\dim(\mathrm{Im}A)=p$.
• Le rang ne change pas par multiplication à gauche ou à droite par une inversible : si $P\in\mathrm{GL}_n(\mathbb{K})$ et $Q\in\mathrm{GL}_p(\mathbb{K})$, alors $\mathrm{rg}(A)=\mathrm{rg}(PA)=\mathrm{rg}(AQ)$.
• Pour $A\in\mathcal{M}_n(\mathbb{K})$, $A$ est inversible $\Longleftrightarrow$ $\mathrm{rg}(A)=n$ (rang maximal).

💡 Astuce mémo

Rang = nb de pivots dans une forme échelonnée ; inversible ssi rang = taille.

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la matrice d’un vecteur $\mathcal{M}_B(x)$ (une colonne de coordonnées) et la matrice d’une famille $\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)$ (plusieurs colonnes).
2. Oublier que $\mathcal{M}_{B,C}(f)$ dépend des deux bases : changer $B$ ou $C$ change la matrice même si l’application $f$ est la même.
3. Se tromper sur le sens du changement de base : $P_{B\to C}$ relie $X=PY$ (coordonnées dans $B$ à partir de celles dans $C$).
4. Croire que $\mathrm{Ker}(f)$ s’obtient sans équations matricielles : il faut résoudre l’équivalent de $AX=0$ dans les coordonnées.
5. Penser que le rang augmente après des opérations élémentaires sur les colonnes : multiplier une colonne par $\alpha\ne0$ ou combiner les colonnes ne change pas le rang.
6. Mettre le rang maximal au mauvais endroit : pour une matrice $n\times p$, le maximum est $\min(n,p)$, tandis que pour une matrice carrée $n\times n$ c’est bien $n$.
7. Confondre rotation et généralité des applications linéaires : la matrice de la rotation se déduit de $f_\theta(\vec{i})$ et $f_\theta(\vec{j})$ dans la base $(\vec{i},\vec{j})$.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire $\mathcal{M}_B(x)$ comme colonne des coordonnées de $x$ sur $B$.
2. Savoir construire $\mathcal{M}_B(u_1,\dots,u_p)$ en plaçant les coordonnées de chaque $u_j$ comme colonne.
3. Savoir déterminer $\mathcal{M}_{B,C}(f)$ à partir des images des vecteurs de base $(e_1,\dots,e_p)$ exprimées dans $C$.
4. Savoir utiliser $f(x)=\sum x_i f(e_i)$ pour relier $f(x)$ aux colonnes de $\mathcal{M}_{B,C}(f)$.
5. Savoir calculer les coordonnées de $f(x)$ via $Y=AX$ où $A=\mathcal{M}_{B,C}(f)$, $X=\mathcal{M}_B(x)$ et $Y=\mathcal{M}_C(f(x))$.
6. Savoir exprimer $\mathrm{Ker}(f)$ à partir de la matrice associée en résolvant l’équation équivalente à $AX=0$.
7. Savoir obtenir $\mathrm{Im}(f)$ à partir de la matrice associée en considérant tous les vecteurs de la forme $AX$.
8. Savoir donner la dimension de $\mathcal{L}(E,F)$ : $\dim\mathcal{L}(E,F)=np$ et donc $\dim\mathcal{L}(E)=n^2$.
9. Savoir décider si $f$ est bijective/automorphisme à partir de l’inversibilité de sa matrice et donner la relation entre inverses $A^{-1}$ et $\mathcal{M}(f^{-1})$.
10. Savoir construire la matrice de passage $P_{B\to C}$ à partir des coordonnées des vecteurs de $C$ dans $B$.
11. Savoir utiliser $P_{B\to C}^{-1}=P_{C\to B}$ et la relation $X=PY$ pour convertir les coordonnées d’un même vecteur.
12. Savoir appliquer la formule de changement de bases des matrices : $A'=Q^{-1}AP$ avec $P=P_{B\to B'}$ et $Q=P_{C\to C'}$.
13. Savoir définir le rang comme dimension de l’espace engendré par les colonnes et en déduire $\mathrm{rg}(A)\le\min(n,p)$.
14. Savoir utiliser le théorème du rang $\dim(\mathrm{Ker}A)+\dim(\mathrm{Im}A)=p$ et les invariances du rang par $\mathrm{GL}$ à gauche/droite.