Maîtrise des nombres complexes et formules trigonométriques

📋 Plan du Cours

1. Nombres complexes : définition et forme algébrique
2. Conjugué, opérations et calculs sur complexes
3. Plan complexe : affixe, module et argument
4. Forme trigonométrique et passage algébrique
5. Formule d’Euler et forme exponentielle
6. Règles de multiplication et division exponentielles
7. Formules trigonométriques d’addition et soustraction
8. Formules de duplication et linéarisation du cosinus

📖 1. Nombres complexes : définition et forme algébrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres complexes : Les nombres complexes forment l’ensemble noté ℂ, constitué des nombres de la forme z=a+ib avec a et b réels.
• Forme algébrique : La forme algébrique d’un complexe z=a+ib est l’écriture séparant la partie réelle a et la partie imaginaire b.
• Conjugué : Le conjugué d’un complexe z=a+ib est le nombre obtenu en changeant le signe de la partie imaginaire, soit a−ib.
• Unité imaginaire i : L’unité imaginaire i est définie par la relation i²=-1, ce qui fixe les règles de calcul sur les complexes.

📝 Points essentiels

• Tout complexe s’écrit z=a+ib avec a,b∈ℝ et i²=-1.
• La notation z=a+ib désigne la forme algébrique de z.
• Le conjugué vérifie si z=a+ib alors \bar z=a−ib.
• Exemple : pour z1=3+2i et z2=5−4i, on obtient z1+z2=8−2i.
• Exemple : pour z1=3+2i et z2=5−4i, on obtient z1−z2=−2+6i.
• Exemple : pour z1=3+2i et z2=5−4i, on obtient z1×z2=23−2i.

💡 Astuce mémo