Revision sheet: Topologie et convergence en espace métrique

📋 Plan du Cours

1. Définition et exemples d’espaces métriques
2. Boules ouvertes, fermées et sphères
3. Voisinages, points intérieurs et adhérents
4. Parties ouvertes et parties fermées
5. Intérieur et adhérence d’une partie
6. Parties bornées et diamètre d’une partie
7. Convergence des suites et sous-suites
8. Valeurs d’adhérence et compacité
9. Compacité dans un espace métrique
10. Normes et distance associée
11. Convergence uniforme et continuité
12. Applications bilinéaires continues

📖 1. Définition et exemples d’espaces métriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Distance : Une distance est une fonction $d:X\times X\to\mathbb{R}$ vérifiant positivité, séparation, symétrie et inégalité triangulaire.
• Espace métrique : Un espace métrique est un couple $(X,d)$ où $X$ est un ensemble non vide muni d’une distance $d$.
• Distance discrète : La distance discrète sur un ensemble $X$ vaut $1$ pour deux points distincts et $0$ sinon.
• Distances équivalentes : Deux distances $d_1$ et $d_2$ sur $X$ sont équivalentes si elles sont encadrées par des constantes positives l’une par l’autre.
• Distance induite : La distance induite sur une partie $Y\subset X$ est la restriction de $d$ à $Y\times Y$.

📝 Points essentiels

• La séparation signifie $d(x,y)=0$ si et seulement si $x=y$.
• L’inégalité triangulaire s’écrit $d(x,y)\le d(x,z)+d(z,y)$ pour tous $x,y,z\in X$.
• Sur $\mathbb{R}$, la distance usuelle est $d(x,y)=|x-y|$ et définit un espace métrique.
• Sur $\mathbb{C}$, la distance usuelle est $d(z_1,z_2)=|z_1-z_2|$ (module du complexe).
• La distance discrète donne $d(x,y)=1$ dès que $x\ne y$, ce qui fournit beaucoup de contre-exemples.
• Deux distances $d_1,d_2$ sont équivalentes s’il existe $\alpha,\beta>0$ telles que $\alpha d_2(x,y)\le d_1(x,y)\le \beta d_2(x,y)$ pour tout $x,y$.

💡 Astuce mémo

Distance = 4 axiomes : Positivité + Séparation + Symétrie + Triangle.

📖 2. Boules ouvertes, fermées et sphères

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule ouverte : Une boule ouverte est l’ensemble des points à distance strictement inférieure à un rayon r d’un centre x.
• Boule fermée : Une boule fermée est l’ensemble des points à distance inférieure ou égale à un rayon r d’un centre x.
• Sphère : Une sphère de centre x et de rayon r est l’ensemble des points à distance exactement égale à r de x.
• Distance discrète : La distance discrète est une distance qui vaut 0 si deux points sont identiques et une constante (souvent 1) sinon.
• Distance induite : La distance induite est la distance obtenue sur une partie Y en mesurant les distances dans X entre deux points de Y.

📝 Points essentiels

• Pour tout x∈X et r>0, on a x∈B(x,r), donc B(x,r)≠∅.
• Les inclusions B(x,r)⊂B̄(x,r) et S(x,r)⊂B̄(x,r) sont vraies pour tout x∈X et r>0.
• Si 0<r1<r2 alors B(x,r1)⊂B(x,r2) et B̄(x,r1)⊂B̄(x,r2).
• Dans la distance discrète, B(x,r)={x} si 0<r≤1 et B(x,r)=X si r>1.
• Dans la distance discrète, B̄(x,r)={x} si 0≤r<1 et B̄(x,r)=X si r≥1.
• Dans la distance discrète, S_d(x,0)={x}, S(x,r)=∅ si 0<r<1, et S(x,1)=X{x} puis S(x,r)=∅ si r>1.

💡 Astuce mémo

Ouvert = < r ; Fermé = ≤ r ; Sphère = = r.

📖 3. Voisinages, points intérieurs et adhérents

🔑 Notions clés & Définitions

• Voisinage : Un voisinage d’un point x est une partie qui contient une boule ouverte centrée en x, pour un certain rayon r>0.
• Intérieur : L’intérieur ˚E d’une partie E est l’ensemble des points de E pour lesquels on peut trouver une boule ouverte entièrement contenue dans E.
• Adhérence : L’adhérence E d’une partie E est le plus petit fermé contenant E, c’est-à-dire l’intersection de tous les fermés contenant E.
• Point adhérent : Un point x est adhérent à E si toute boule ouverte centrée en x rencontre E.
• Frontière : La frontière @E d’une partie E est l’ensemble des points de E qui ne sont pas intérieurs à E, soit @E=E\˚E.

📝 Points essentiels

• x∈˚E équivaut à l’existence de r>0 tel que B(x,r)⊂E.
• x∈E équivaut à : pour tout r>0, B(x,r)∩E≠∅.
• L’adhérence vérifie E=E0 où E0 est l’ensemble des points adhérents à E.
• La famille des fermés contenant E n’est jamais vide car X est un fermé contenant E.
• E est fermée si et seulement si E=E (adhérence égale à la partie).
• @E=E\˚E et la frontière coïncide avec l’ensemble des points de frontière de E (égalité @E=E*).

💡 Astuce mémo

Intérieur = “boule dedans”, adhérence = “boule touche”, frontière = “dans mais pas dedans”.

📖 4. Parties ouvertes et parties fermées

🔑 Notions clés & Définitions

• Point intérieur : Un point intérieur d’une partie U est un point pour lequel on peut trouver une boule entièrement contenue dans U.
• Adhérence : L’adhérence d’une partie U est l’ensemble des points qu’on peut approcher par des suites de points de U.
• Partie ouverte : Une partie ouverte est une partie dont chaque point est intérieur, donc entouré d’une boule incluse dans la partie.
• Partie fermée : Une partie fermée contient tous ses points adhérents, c’est-à-dire qu’aucune limite de suite de la partie ne peut en sortir.
• Caractérisation séquentielle : La caractérisation séquentielle décrit l’intérieur et l’adhérence via le comportement des suites convergentes.

📝 Points essentiels

• Un point y est intérieur à U si toute suite (x_n) dans X convergeant vers y finit par être entièrement dans U à partir d’un certain rang.
• L’adhérence de U est le plus petit fermé contenant U pour l’inclusion.
• Un point y appartient à l’adhérence de U s’il existe une suite (x_n) dans U qui converge vers y.
• Une suite (x_n) converge vers y si, pour tout voisinage V de y, tous les x_n sont dans V à partir d’un certain rang.
• Une union quelconque de parties ouvertes est ouverte, et une intersection finie d’ouverts est ouverte.
• Une intersection quelconque de fermés est fermée, et une union finie de fermés est fermée.

💡 Astuce mémo

Intérieur = “boule dans U”, adhérence = “suite dans U qui converge vers y”.

📖 5. Intérieur et adhérence d’une partie

🔑 Notions clés & Définitions

• Intérieur d’une partie : L’intérieur d’une partie est l’ensemble des points pour lesquels il existe un voisinage entièrement contenu dans cette partie.
• Adhérence d’une partie : L’adhérence d’une partie est l’ensemble des points que l’on peut approcher par des points de la partie, via des voisinages.
• Homéomorphisme : Un homéomorphisme est une application continue bijective dont la réciproque est continue.
• Conservation de l’adhérence : La conservation de l’adhérence signifie que l’adhérence d’une partie est transformée en l’adhérence de son image par l’homéomorphisme.

📝 Points essentiels

• Un homéomorphisme envoie les parties ouvertes de X sur des parties ouvertes de Y.
• Un homéomorphisme envoie les parties fermées de X sur des parties fermées de Y.
• Un homéomorphisme transforme l’intérieur d’une partie de X en l’intérieur de l’image dans Y.
• Un homéomorphisme transforme l’adhérence d’une partie de X en l’adhérence de l’image dans Y.
• Un homéomorphisme transforme les suites convergentes en suites convergentes et préserve leurs limites.
• Un homéomorphisme envoie les points d’adhérence d’une suite dans X sur les points d’adhérence correspondants dans Y.

💡 Astuce mémo

Ouvert→Ouvert, Fermé→Fermé, Intérieur→Intérieur, Adhérence→Adhérence (même “type” topologique).

📖 6. Parties bornées et diamètre d’une partie

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule ouverte : Une boule ouverte est l’ensemble des points situés à une distance strictement inférieure à un rayon donné autour d’un centre.
• Boule fermée : Une boule fermée est l’ensemble des points situés à une distance inférieure ou égale à un rayon donné autour d’un centre.
• Distance induite : La distance induite sur une partie E est la restriction de la distance de l’espace ambiant aux points de E.
• Topologie induite : La topologie induite sur E est la famille des ouverts de E obtenus comme intersections d’ouverts de l’espace ambiant avec E.
• Diamètre d’une partie : Le diamètre d’une partie mesure l’étendue maximale des distances entre deux points de cette partie.

📝 Points essentiels

• Dans un espace métrique, la distance induite sur E vérifie $d_E(x_1,x_2)=d(x_1,x_2)$ pour tous $x_1,x_2\in E$.
• Les boules dans la distance induite se décrivent par $B_{d_E}(x,r)=B_d(x,r)\cap E$.
• La topologie induite sur E a pour ouverts exactement les intersections $E\cap O$ où $O$ est ouvert dans l’espace ambiant.
• Une suite $(x_n)$ à valeurs dans E converge dans $(E,d_E)$ si et seulement si elle converge dans l’espace ambiant et que sa limite appartient à E.
• Si $E$ est ouverte dans $X$, alors un ensemble $A$ est ouvert dans la topologie induite sur E exactement quand $A$ est ouvert dans $X$ et $A\subset E$.
• Le diamètre d’une partie correspond à la plus grande distance possible entre deux points de cette partie (et il peut être infini si la partie n’est pas bornée).

💡 Astuce mémo

Induite = restriction : $B_{E}(x,r)=B_X(x,r)\cap E$ et donc ouverts = intersections avec $E$.

📖 7. Convergence des suites et sous-suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule unité ouverte : La boule unité ouverte est l’ensemble des vecteurs de norme strictement inférieure à 1, noté $B(0,1)={x\in X\mid |x|<1}$.
• Norme induite : La norme induite est la restriction d’une norme d’un espace $X$ à un sous-espace $Y$, définie par $|y|_Y=|y|$ pour tout $y\in Y$.
• Norme produit : La norme produit est la norme sur un produit fini d’espaces normés définie par $|(x_1,\dots,x_n)|=\max_{1\le i\le n}|x_i|_i$.
• Convergence en norme : La convergence en norme signifie que $|x_n-x|\to 0$ pour une norme donnée, ce qui équivaut à la convergence pour la distance associée à cette norme.
• Équivalence des normes : Deux normes sont équivalentes si elles engendrent des distances équivalentes, donc si elles donnent les mêmes notions topologiques (notamment convergence et continuité).

📝 Points essentiels

• Dans un espace vectoriel normé, la distance associée à $d(x,y)=|x-y|$ est invariante par translation et non bornée si $X\neq{0}$.
• En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes, donc elles définissent les mêmes voisinages, ouverts, fermés, suites convergentes et fonctions continues.
• Si $|\cdot|_1$ et $|\cdot|_2$ sont équivalentes, alors $x_n\to x$ pour $|\cdot|_1$ implique $x_n\to x$ pour $|\cdot|_2$ (et réciproquement).
• En dimension finie, on peut ramener l’étude à une norme de référence via une isométrie linéaire vers $\mathbb{R}^n$, ce qui permet d’utiliser Bolzano–Weierstrass.
• Pour prouver l’équivalence, on montre d’abord une majoration de type $|x|\le C_1|x|_1$, puis l’existence d’une constante $C_2>0$ telle que $|x|_1\le C_2|x|$.
• Contre-exemple en dimension infinie : sur $C([0,1],\mathbb{R})$, les normes $|\cdot|1$ et $|\cdot|\infty$ ne sont pas équivalentes (même topologiquement).

💡 Astuce mémo

Dimension finie = mêmes convergences : normes différentes, même topologie (donc même sous-suites convergentes).

📖 8. Valeurs d’adhérence et compacité

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur d’adhérence : Une valeur d’adhérence est une limite possible d’une sous-suite d’une suite donnée.
• Compacité séquentielle : La compacité séquentielle signifie que toute suite d’un espace (ou d’une partie) admet au moins une valeur d’adhérence.
• Partie compacte : Une partie est compacte si, munie de la métrique induite, toute suite de cette partie admet une valeur d’adhérence dans la partie.
• Espace métrique compact : Un espace métrique est compact si toute suite de ses points admet au moins une valeur d’adhérence.
• Compacité dans un espace normé : Dans un espace normé, la compacité se caractérise via la compacité de la sphère/boule unité et des fermés bornés.

📝 Points essentiels

• Dans un espace vectoriel normé de dimension finie, toute suite bornée admet au moins une valeur d’adhérence.
• Dans un sous-espace vectoriel Y de dimension finie, toute norme sur Y est équivalente à la norme induite sur Y.
• Dans un sous-espace vectoriel Y de dimension finie, toute suite bornée de Y admet une valeur d’adhérence dans Y.
• Dans un sous-espace vectoriel Y de dimension finie, Y est fermé dans l’espace ambiant.
• Un espace métrique est compact si et seulement si toute suite admet au moins une valeur d’adhérence.
• Si E est compacte, alors E est fermée et bornée dans l’espace ambiant; la fermeture se prouve par convergence de suites dans E et stabilité de la limite par compacité, et la bornitude par construction d’une suite trop “é

💡 Astuce mémo

Valeur d’adhérence = “limite de sous-suite” ; Compacité séquentielle = “toute suite a une limite possible”.

📖 9. Compacité dans un espace métrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Boule fermée unité : La boule fermée unité est l’ensemble des points de norme ≤ 1, noté $B_f(0,1)$ dans un espace normé.
• Sphère unité : La sphère unité est l’ensemble des points de norme égale à 1, noté $S(0,1)$.
• Fermé borné : Un fermé borné est une partie à la fois fermée et contenue dans une boule de rayon fini.
• Compacité : La compacité est la propriété qu’a un espace (ou une partie) d’où toute suite admet une sous-suite convergente vers un point de la partie.
• Théorème de compacité de Riesz : Le théorème de Riesz caractérise la dimension finie par la compacité de la boule unité fermée dans un espace vectoriel normé.

📝 Points essentiels

• Dans un espace métrique, $S(0,1)$ est compacte, et donc $B_f(0,1)$ est compacte.
• Toute boule fermée $B_f(x,r)$ est compacte, car $B_f(x,r)=x+rB_f(0,1)$ et on transfère la compacité par homothétie.
• Tous les fermés bornés sont compacts : si $F$ est fermé et borné, alors $F\subset B_f(0,M)$ pour un $M$ et on conclut via compacité de la boule.
• Dans la preuve de la compacité de $B_f(0,1)$, on traite deux cas : soit la suite vaut 0 une infinité de fois, soit on normalise $y_n=x_n/|x_n|$ et on utilise la compacité de $S(0,1)$.
• La normalisation $y_n=x_n/|x_n|$ permet de séparer la direction (sur la sphère) et la norme (dans $[0,1]$), puis d’extraire des sous-suites convergentes.
• Dans un espace métrique, une partie compacte est toujours fermée et bornée (implication valable sans hypothèse de dimension).

💡 Astuce mémo

Direction + norme : on normalise sur la sphère puis on applique Bolzano–Weierstrass à la suite des normes dans $[0,1]$. (Sphère = direction, intervalle = longueur)

📖 10. Normes et distance associée

🔑 Notions clés & Définitions

• Connexité des intervalles ouverts : La connexité des intervalles ouverts non vides signifie qu’on ne peut pas les séparer en deux ouverts disjoints non vides.
• Homéomorphisme : Un homéomorphisme est une application bijective continue dont la réciproque est continue, préservant la connexité.
• Famille de parties connexes : Une famille de parties connexes est un ensemble de sous-ensembles chacun connexe, dont les intersections deux à deux sont non vides.
• Lemme de densité et connexité : Le lemme de densité dit que si une partie connexe est dense dans une partie, alors la partie entière est connexe.
• Image continue d’un intervalle : L’image d’un intervalle par une application continue est un intervalle, donc reste connexe.

📝 Points essentiels

• Tout intervalle ouvert non vide de (R, |·|) est connexe.
• Deux espaces homéomorphes ont la même connexité, donc tout intervalle ouvert non vide est connexe car homéomorphe à R.
• Si (Eα)α∈A est une famille de parties connexes d’intersection deux à deux non vide, alors ⋃α∈A Eα est connexe.
• L’hypothèse « intersections deux à deux non vides » peut être affaiblie en remplaçant par une chaîne d’intersections successives reliant deux ensembles quelconques.
• Une intersection de parties connexes n’est pas forcément connexe : même une intersection décroissante peut échouer (exemple des bandes Bn privées de l’origine).
• Dans un espace métrique, si E est connexe et E ⊂ B ⊂ E, alors B est connexe (en particulier E est connexe).

💡 Astuce mémo

Homéomorphisme = même “forme topologique” → connexité conservée.

📖 11. Convergence uniforme et continuité

🔑 Notions clés & Définitions

• Composante connexe : Une composante connexe est une partie connexe maximale pour l’inclusion, contenant un point donné.
• Cx : Cx désigne la composante connexe de X qui contient le point x.
• Lemme sur composantes connexes : Le lemme caractérise une composante connexe à partir d’une partie non vide ouverte, fermée et connexe.
• Suite de Cauchy : Une suite est de Cauchy si ses termes deviennent arbitrairement proches à partir d’un certain rang.
• Convergence uniforme : La convergence uniforme contrôle la proximité des fonctions sur tout l’espace de définition, avec un même seuil pour tous les points.

📝 Points essentiels

• Si y appartient à Cx, alors il existe une partie connexe contenant x et y, ce qui force l’inclusion Cx ⊂ [↵2AD↵ et réciproquement l’appartenance de y à Cx.
• Cx est connexe car c’est l’union de parties connexes qui se recouvrent par intersection non vide.
• Cx est fermée car, étant connexe et contenant x, elle est contenue dans la composante connexe Cx.
• Si Cx intersecte un connexe C, alors C ⊂ Cx : la composante connexe « avale » tout connexe qu’elle touche.
• X est connexe si et seulement si elle n’a qu’une seule composante connexe.
• Si E ⊂ X est non vide, ouverte, fermée et connexe, alors E est une composante connexe de X (et donc E = Cx pour tout x ∈ E).

💡 Astuce mémo

Connexe = « maximal » : Cx avale tout connexe qu’elle touche, et une partie ouverte+fermée+connexe est forcément une composante.

📖 12. Applications bilinéaires continues

🔑 Notions clés & Définitions

• Application bilinéaire : Une application bilinéaire est une application qui est linéaire dans chacune de ses deux variables séparément.
• Forme bilinéaire symétrique : Une forme bilinéaire symétrique vérifie l’égalité f(x,y)=f(y,x) pour tous les couples (x,y).
• Espace Lc(X1 ⇥ X2, Y) : L’espace Lc(X1 ⇥ X2, Y) regroupe les applications bilinéaires continues de X1 ⇥ X2 vers Y.
• Norme d’application bilinéaire : La norme subordonnée d’une application bilinéaire continue est le supremum de ||f(x1,x2)||Y sur les couples non nuls, pondéré par ||x1||X1||x2||X2.

📝 Points essentiels

• Pour une application bilinéaire f, la continuité en (0,0) est équivalente à la continuité sur tout X1 ⇥ X2.
• La continuité bilinéaire est équivalente à l’existence d’une constante C≥0 telle que ||f(x1,x2)||Y ≤ C||x1||X1||x2||X2 pour tous x1∈X1 et x2∈X2.
• La norme |||f||| est définie comme sup{kf(x1,x2)kY/(||x1||X1||x2||X2) : (x1,x2)∈X1⇥X2, x1≠0, x2≠0}.
• La norme |||f||| contrôle directement la valeur de f via l’inégalité ||f(x1,x2)||Y ≤ |||f|||·||x1||X1·||x2||X2.
• La symétrie d’une forme bilinéaire impose f(x,y)=f(y,x), ce qui réduit l’information nécessaire pour connaître f.
• Les résultats sur les applications bilinéaires se généralisent aux applications multilinéaires.

💡 Astuce mémo

Continuité bilinéaire = contrôle produit : f continue ⇔ ||f(x1,x2)|| ≤ C||x1||·||x2|| (tout se joue en (0,0)).

📊 Tableaux de synthèse

Ouvert / fermé : caractérisations équivalentes

Connexité : définitions équivalentes

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre distance induite et topologie induite : la première est la restriction de d à Y×Y, la seconde est obtenue par intersections d’ouverts avec Y.
2. Croire que “adhérent” implique “intérieur” : un point adhérent peut être isolé ou d’accumulation, et peut même appartenir à Ec.
3. Inverser les inclusions des boules : si 0<r1<r2 alors B(x,r1)⊂B(x,r2) et Bf(x,r1)⊂Bf(x,r2), pas l’inverse.
4. Penser que deux distances équivalentes donnent les mêmes boules pour le même rayon : elles donnent des voisinages équivalents, mais les rayons se compensent (emboîtement avec un facteur).
5. Oublier que l’unicité de la limite vaut pour les suites convergentes dans un espace métrique, mais qu’une suite peut avoir une unique valeur d’adhérence sans converger.
6. Croire que compacité implique seulement “bornée” : en métrique, la compacité se caractérise par l’existence d’une valeur d’adhérence pour toute suite, et implique fermé et borné.
7. Confondre continuité et continuité uniforme : la continuité uniforme impose un même seuil ⌘ pour tous x∈E, alors que la continuité simple permet ⌘ dépendant du point.

✅ Checklist Examen

1. Définir une distance et vérifier les 4 axiomes (positivité, séparation, symétrie, inégalité triangulaire), puis donner l’exemple de la distance discrète.
2. Définir boule ouverte, boule fermée et sphère, et traiter les cas particuliers de la distance discrète (valeurs de B, B̄, S selon r).
3. Donner les définitions de voisinage, point intérieur, point adhérent, frontière, et reformuler adhérence/intérieur via intersections avec B(x,r).
4. Caractériser une partie ouverte et une partie fermée, notamment via le complémentaire ouvert/fermé et les propriétés d’union/intersection (ouvert/fermé).
5. Définir intérieur, adhérence, frontière et densité, puis utiliser les caractérisations séquentielles : suites convergentes dans E et limites dans l’adhérence.
6. Définir “bornée” et le diamètre diam(E), et savoir relier diam(E)<+∞ à la bornitude, ainsi que diam(˚E)≤diam(E).
7. Définir convergence d’une suite dans un espace métrique, unicité de la limite, et caractériser l’appartenance à E, à l’ouverture/fermeture/densité via suites.
8. Définir équivalence de distances et équivalence de normes, puis rappeler que sur un espace vectoriel normé de dimension finie toutes les normes sont équivalentes (mêmes notions topologiques).
9. Définir valeur d’adhérence et compacité séquentielle, puis relier compacité à “toute suite admet une valeur d’adhérence” et aux conséquences fermé+borné.
10. Caractériser la compacité dans un espace normé : équivalences entre compacité de la sphère unité, boule unité fermée, boules fermées, et fermés bornés, puis énoncer le théorème de Riesz (dimension finie).
11. Définir connexité et donner les critères équivalents (impossibilité de séparation en deux ouverts disjoints non vides, ou application continue vers {0,1} constante), puis traiter connexité par arcs et ses implications.
12. Définir composantes connexes Cx, donner la construction via la relation d’équivalence, et savoir utiliser le lemme : partie non vide, ouverte, fermée, connexe ⇒ composante connexe.
13. Définir suite de Cauchy, espace complet, et utiliser les résultats : compact ⇒ complet, et en dimension finie tout EVN est complet.
14. Définir continuité d’une application entre espaces métriques (via voisinages ou suites), caractériser la continuité par images réciproques d’ouverts/fermés, et distinguer uniformément continue (Heine).