Hoja de repaso: Analyse des évolutions et proportions

📋 Plan du Cours

1. Définitions : population, individu, effectifs
2. Proportion : définition et calcul
3. Utiliser une proportion en contexte
4. Évolution : coefficient multiplicateur et taux
5. Taux d’évolution réciproque et coefficient
6. Taux d’évolution moyen et taux équivalent
7. Suites arithmétiques : raison et expression explicite
8. Représentation graphique et sens de variation
9. Séries statistiques à une variable : indicateurs
10. Séries statistiques à deux variables : couples
11. Placements à intérêts composés et suite géométrique
12. Taux équivalent périodique et valeur acquise

📖 1. Définitions : population, individu, effectifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Population : Une population est un ensemble d’éléments qui partagent une même caractéristique commune.
• Individu : Un individu est un élément appartenant à une population donnée.
• Effectif total : L’effectif total est le nombre total d’individus d’une population, noté généralement N.
• Effectif partiel : Un effectif partiel est le nombre d’individus appartenant à une partie précise de la population, noté généralement n.
• Proportion : La proportion d’une partie d’un ensemble est le quotient de l’effectif partiel par l’effectif total.

📝 Points essentiels

• La population sert de cadre de référence : toutes les proportions sont calculées par rapport à elle.
• Un individu est repéré comme un élément concret de la population (ex. un élève, un arbre, un salarié).
• L’effectif total N correspond au total des éléments de la population (ex. N=32 pour 32 élèves).
• L’effectif partiel n correspond au sous-ensemble étudié (ex. n=18 pour 18 filles parmi 32).
• La proportion vaut toujours $p=\dfrac{n}{N}$ et se lit comme une fraction de la population.
• La proportion peut s’exprimer sous forme de fraction simplifiée, de décimal entre 0 et 1, ou de pourcentage (multiplication par 100).

💡 Astuce mémo

Population = ensemble ; Individu = élément ; Effectif = nombre ; Proportion = part/total ($p=n/N$).

📖 2. Proportion : définition et calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Proportion : Une proportion mesure la part d’une quantité par rapport à une autre, exprimée comme un nombre décimal ou un pourcentage.
• Taux : Un taux est une proportion exprimée en pourcentage, utilisée pour calculer une part à partir d’un total.
• Effectif partiel : L’effectif partiel est la quantité correspondant à la partie étudiée dans une population ou un total.
• Effectif total : L’effectif total est la quantité de référence qui contient l’effectif partiel.

📝 Points essentiels

• La proportion se calcule par le produit du total par le taux, puis on obtient la part correspondante.
• Si le taux est donné en %, on le convertit en décimal en divisant par 100 avant le calcul.
• Exemple : 5,7 % de 1 850 donne 105,45 €, donc le total vaut 105,45 ÷ 0,057 = 1 850.
• Pour retrouver le total à partir d’une part et d’un taux, on divise la part par le taux décimal.
• En TVA, la base de calcul est le prix HT : on ajoute la TVA au HT pour obtenir le TTC.
• On ne doit pas utiliser le prix TTC pour calculer la TVA dans la formule de TVA donnée : la base correcte est le HT.

💡 Astuce mémo

Part = Total × Taux (en décimal) ; Total = Part ÷ Taux (en décimal).

📖 3. Utiliser une proportion en contexte

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux réciproque : Le taux réciproque est le pourcentage qui annule l’effet d’une hausse ou d’une baisse précédente pour revenir à la valeur initiale.
• Taux d’évolution global : Le taux d’évolution global mesure l’évolution totale entre une valeur initiale et une valeur finale, sans découpage en étapes.
• Taux d’évolution moyen : Le taux d’évolution moyen est le taux annuel (ou par période) qui, appliqué à chaque étape, reproduit le même résultat global.
• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur $k$ vérifie que la nouvelle valeur vaut l’ancienne valeur multipliée par $k$, avec $k=1+t$.
• Racine n-ième : La racine n-ième est l’outil qui permet de résoudre des équations du type $1+t=(1+r)^n$ pour trouver le taux par période $r$.

📝 Points essentiels

• Pour une hausse de $+p\%$, le coefficient multiplicateur vaut $1+\frac{p}{100}$ et le taux réciproque correspond à $\frac{1}{1+p}-1$ en pourcentage.
• Une hausse de $25\%$ a pour coefficient $1{,}25$ et le taux réciproque est $\frac{1}{1{,}25}-1=-0{,}2$, donc $-20\%$.
• Pour retrouver une valeur initiale après une baisse de $8\%$, il faut un taux $t$ tel que $(1-0{,}08)(1+t)=1$, d’où $t\approx 0{,}0870$, soit $+8{,}70\%$.
• Si une quantité augmente de $12\%$ puis revient à sa valeur initiale, alors le 2e taux $t$ vérifie $1{,}12(1+t)=1$, donc $t\approx -0{,}107$, soit $-10{,}7\%$.
• Le taux d’évolution moyen se calcule avec les coefficients multiplicateurs : si le taux global est $T$, alors le taux moyen $m$ vérifie $(1+T)=(1+m)^n$ pour $n$ périodes.
• Pour passer d’un taux annuel à un taux mensuel équivalent, on ne divise pas par 12 : on utilise $1+0{,}024=(1+r)^{12}$, donc $r=(1{,}024)^{1/12}-1\approx 0{,}00198$, soit $0{,}198\%$.

💡 Astuce mémo

Réciproque = « annuler » : $\text{taux réciproque} = \frac{1}{1+t}-1$ ; moyen = « même résultat » : $(1+T)=(1+m)^n$.

📖 4. Évolution : coefficient multiplicateur et taux

🔑 Notions clés & Définitions

• Coefficient multiplicateur : Le coefficient multiplicateur est le facteur $k$ tel que la nouvelle valeur s’obtient en multipliant l’ancienne par $k$.
• Taux d’évolution : Le taux d’évolution est la proportion d’augmentation ou de diminution appliquée à une valeur de départ.
• Augmentation : Une augmentation correspond à un taux positif, ce qui fait croître la valeur au moyen d’un coefficient multiplicateur supérieur à 1.
• Diminution : Une diminution correspond à un taux négatif, ce qui fait décroître la valeur au moyen d’un coefficient multiplicateur inférieur à 1.

📝 Points essentiels

• Si la valeur passe de $V$ à $V'$, alors le coefficient multiplicateur vérifie $k=\dfrac{V'}{V}$ (avec $V\neq 0$).
• Si le taux est $t$, alors le coefficient multiplicateur vaut $k=1+t$ et réciproquement $t=k-1$.
• Une augmentation de $t\%$ correspond à $t/100$ comme taux, donc $k=1+t/100$.
• Une diminution de $t\%$ correspond à un taux négatif $-t/100$, donc $k=1-t/100$.
• Pour une évolution successive, on multiplie les coefficients multiplicateurs : $k_{total}=k_1\times k_2$ (et donc les taux ne s’additionnent pas directement).
• Pour retrouver la valeur finale : $V'=V\times k$ ; pour retrouver la valeur initiale : $V=\dfrac{V'}{k}$ (avec $k\neq 0$).

💡 Astuce mémo

Coefficient multiplicateur = « facteur » : $k=1+t$ ; taux = « écart à 1 » : $t=k-1$.

📖 5. Taux d’évolution réciproque et coefficient

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur existentiel : Le quantificateur existentiel affirme qu’il existe au moins un élément pour lequel le prédicat est vrai.
• Quantificateur universel : Le quantificateur universel affirme que pour tout élément, le prédicat est vrai.
• Négation d’une proposition existentielle : La négation d’une proposition du type il existe x tel que P(x) transforme le quantificateur en universel et nie le prédicat.
• Négation d’une proposition universelle : La négation d’une proposition du type pour tout x, P(x) transforme le quantificateur en existentiel et nie le prédicat.

📝 Points essentiels

• Une proposition « il existe x tel que P(x) » est vraie s’il existe au moins un x rendant P(x) vraie, sinon elle est fausse.
• Une proposition « pour tout x, P(x) » est vraie si P(x) est vraie pour tous les x, et fausse dès qu’un contre-exemple existe.
• Dans une proposition avec deux quantificateurs, on ne peut pas échanger leur ordre sans changer le sens de la proposition.
• La négation de « il existe x tel que P(x) » est « pour tout x, non P(x) ».
• La négation de « pour tout x, P(x) » est « il existe x tel que non P(x) ».
• Exemple-clé : « il existe x tel que x² = 1 » est vraie car x = 1 convient, tandis que « pour tout x, x² = 1 » est fausse car x = 0 ne convient pas.

💡 Astuce mémo

Existence→Universel : « il existe » devient « quel que soit » quand on nie ; Universel→Existence : « quel que soit » devient « il existe » quand on nie.

📖 6. Taux d’évolution moyen et taux équivalent

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux global d’évolution : Le taux global d’évolution mesure la variation relative entre une valeur initiale et une valeur finale sur toute la période considérée.
• Coefficient multiplicateur global : Le coefficient multiplicateur global est le facteur qui transforme la valeur initiale en valeur finale sur toute la période.
• Taux moyen annuel d’évolution : Le taux moyen annuel d’évolution est le taux unique appliqué chaque année qui reproduit le même passage de la valeur initiale à la valeur finale.
• Taux équivalent : Le taux équivalent est un taux annuel unique qui donne, après plusieurs années, le même résultat qu’un taux global sur la période.
• Suite géométrique (chiffre d’affaires) : Une suite géométrique modélise une évolution où chaque terme est obtenu en multipliant le précédent par un même facteur (1+t).

📝 Points essentiels

• Le taux global s’obtient par $\dfrac{V_f-V_i}{V_i}$, puis on l’exprime en pourcentage.
• Le coefficient multiplicateur global vaut $\dfrac{V_f}{V_i}$ et vérifie $V_f=V_i\times(1+t_{global})$.
• Le taux moyen annuel $t$ vérifie $(1+t)^{n}=1+t_{global}$ où $n$ est le nombre d’années.
• Dans l’exemple, $t_{global}=\dfrac{1655-1254}{1254}\approx 32\%$ et le coefficient global vaut $1,32$.
• Le taux moyen annuel se calcule par 1+t=\sqrt[n]{1+t_{global}, puis $t=(\sqrt[n]{1+t_{global}}-1)$.
• Dans l’exemple (2013 à 2018, soit $n=5$), on obtient $1+t=1,057$ donc $t\approx 5,7\%$.

💡 Astuce mémo

Global = total (sur toute la période) ; Moyen annuel = même effet année après année : $(1+t_{moy})^n=1+t_{global}$.

📖 7. Suites arithmétiques : raison et expression explicite

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite arithmétique : Une suite arithmétique est une suite où chaque terme s’obtient en ajoutant une même constante au terme précédent.
• Raison d’une suite arithmétique : La raison d’une suite arithmétique est la constante $r$ ajoutée à chaque terme pour obtenir le suivant.
• Terme initial : Le terme initial est le premier terme de la suite, noté $u_0$ ou $u_1$ selon la convention du sujet.
• Expression explicite : Une expression explicite donne directement $u_n$ en fonction de $n$, sans calculer tous les termes précédents.

📝 Points essentiels

• Si $(u_n)$ est arithmétique de raison $r$, alors $u_{n+1}=u_n+r$ pour tout $n$.
• Pour définir une suite arithmétique, on doit connaître le premier terme (terme initial) et la raison $r$.
• Si $u_0$ est le premier terme, alors $u_n=u_0+n\times r$.
• Si $u_1$ est le premier terme, alors $u_n=u_1+(n-1)\times r$.
• Une suite arithmétique est croissante si $r>0$, décroissante si $r<0$, et constante si $r=0$.
• Pour étudier le sens de variation d’une suite, on compare $u_{n+1}-u_n$ : son signe indique croissance, décroissance ou absence de variation.

💡 Astuce mémo

Pense à « +r à chaque pas » : $u_{n+1}=u_n+r$ puis $u_n=u_0+n\,r$ (ou $u_1+(n-1)r$).

📖 8. Représentation graphique et sens de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Nuage de points : Un nuage de points est la représentation graphique d’une série statistique double, où chaque couple (x ; y) est placé dans un repère.
• Droite d’ajustement : Une droite d’ajustement est une droite choisie pour approcher au mieux les points du nuage selon une règle de calcul.
• Droite de régression de y en x : La droite de régression de y en x est la droite d’ajustement obtenue en minimisant les écarts au sens des moindres carrés pour prédire y à partir de x.
• Coefficient de corrélation linéaire : Le coefficient de corrélation linéaire mesure l’intensité de la relation linéaire entre deux variables d’une série statistique double.
• Ajustement affine : Un ajustement affine modélise la relation entre y et x par une fonction de la forme y = ax + b.

📝 Points essentiels

• Méthode des moindres carrés : on choisit la droite qui minimise la somme des carrés des distances entre les points du nuage et les points de la droite ayant la même abscisse.
• Interprétation graphique : la droite d’ajustement doit passer « au milieu » du nuage, sans être forcément confondue avec tous les points.
• Sens de variation : si a > 0 alors y augmente globalement quand x augmente, et si a < 0 alors y diminue globalement quand x augmente.
• Coefficient de corrélation linéaire r : si r est proche de 1 ou de −1, l’ajustement linéaire est de bonne qualité, et si r est proche de 0, l’ajustement linéaire est mauvais.
• Formule de r : $r=\dfrac{\sum (x_i-\bar x)(y_i-\bar y)}{n\,\sigma_x\sigma_y}$, où $\sigma_x$ et $\sigma_y$ sont les écarts-types des séries de x et de y.
• Utilisation pratique : la calculatrice fournit r et l’équation de la droite, puis on s’en sert pour estimer une valeur de y à partir d’un x (estimation) ou pour prévoir y pour un x futur (prévision).

💡 Astuce mémo

r proche de 1 ou −1 = relation linéaire forte ; r proche de 0 = pas de droite fiable.

📖 9. Séries statistiques à une variable : indicateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne : La moyenne d’une série statistique est une valeur unique qui représente la tendance centrale calculée à partir des valeurs et de leurs effectifs.
• Médiane : La médiane d’une série ordonnée est la valeur qui partage la série en deux groupes d’effectifs égaux.
• Quartiles : Les quartiles sont des valeurs d’une série ordonnée qui découpent la série en parts de 25 % et 75 %.
• Variance : La variance mesure la dispersion d’une série autour de sa moyenne à l’aide des écarts au carré.
• Écart-type : L’écart-type est la racine de la variance et exprime la dispersion dans la même unité que la variable.

📝 Points essentiels

• Pour une série, on note les valeurs du caractère, leurs effectifs, puis l’effectif total $N= n_1+n_2+\cdots+n_k$.
• Si $N$ est pair, la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, aux rangs $N/2$ et $N/2+1$.
• Si $N$ est impair, la médiane est la valeur centrale, au rang $(N+1)/2$.
• Le 1er quartile est la première valeur telle qu’au moins 25 % des données sont en dessous, donc pour le rang correspondant à $0{,}25N$ (selon le classement).
• Le 3ème quartile est la première valeur telle qu’au moins 75 % des données sont en dessous, donc pour le rang correspondant à $0{,}75N$ (selon le classement).
• La variance s’écrit sous la forme $V=\frac{\sum n_i(x_i-\bar x)^2}{N}$ et l’écart-type vaut $\sigma=\sqrt{V}$.

💡 Astuce mémo

Médiane = milieu (2 moitiés), Quartiles = 25% et 75%, Variance = écarts au carré, Écart-type = racine de la variance.

📖 10. Séries statistiques à deux variables : couples

🔑 Notions clés & Définitions

• Couple statistique : Un couple statistique associe une valeur de la variable X à une valeur correspondante de la variable Y pour un même individu ou instant.
• Effectif : L’effectif est le nombre d’observations correspondant à une valeur (ou à une classe) donnée.
• Fréquence : La fréquence est l’effectif rapporté au total des observations, ce qui permet de comparer des séries de tailles différentes.
• Tableau de contingence : Un tableau de contingence organise les couples (X,Y) en lignes et colonnes pour visualiser les effectifs selon les modalités de X et de Y.
• Nuage de points : Le nuage de points représente chaque couple (X,Y) par un point dans un repère, pour étudier la relation entre X et Y.

📝 Points essentiels

• Un couple (X,Y) est défini pour la même observation, donc X et Y ne doivent pas être appariés séparément.
• Dans un tableau de contingence, chaque case contient l’effectif des observations ayant la modalité de X en ligne et celle de Y en colonne.
• Les fréquences marginales se calculent en sommant les effectifs sur une ligne (pour X) ou sur une colonne (pour Y).
• La somme de tous les effectifs d’un tableau de contingence vaut le nombre total d’observations.
• Le nuage de points sert à repérer visuellement une tendance (croissance, décroissance, dispersion) et d’éventuels regroupements.
• Une relation entre X et Y est suggérée par une forme du nuage (alignement ou tendance), mais l’absence de forme nette indique une faible liaison.

💡 Astuce mémo

Tableau = cases (effectifs) ; nuage = points (couples) : même données, deux lectures.

📖 11. Placements à intérêts composés et suite géométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux équivalent périodique : Le taux équivalent périodique est le taux $i$ qui, appliqué à chaque période, donne le même effet global que le taux $I$ sur l’ensemble des périodes.
• Valeur acquise : La valeur acquise est le montant obtenu après $n$ périodes quand on capitalise un capital initial ou une suite de versements à intérêts composés.
• Valeur actuelle : La valeur actuelle est le montant aujourd’hui équivalent à un capital futur, ou à une série de versements futurs, actualisés au taux $i$.
• Annuités constantes : Les annuités constantes sont des versements (ou remboursements) de même montant sur $n$ périodes, calculés à partir du capital, du taux et de la durée.
• Suite géométrique : Une suite géométrique est une suite où chaque terme s’obtient en multipliant le précédent par une constante, ce qui modélise la capitalisation.

📝 Points essentiels

• Pour un taux global $I$ sur $n$ périodes, le taux équivalent périodique vérifie $i=(1+I)^{1/n}-1$.
• Pour un placement unique initial $C$ capitalisé à $i$ pendant $n$ périodes, la valeur acquise est $C(1+i)^n$.
• Pour une suite d’annuités constantes, la valeur acquise s’obtient en sommant une suite géométrique de facteurs $(1+i)^k$.
• Pour actualiser un capital futur $F$ à $n$ périodes, la valeur actuelle est $F/(1+i)^n$.
• Pour un emprunt à annuités constantes, l’annuité $A$ se calcule via A=C\times \dfrac{i(1+i)^n}{(1+i)^n-1.
• Dans l’exemple d’emprunt à $C=40\,000$, $i=0{,}04$ et $n=4$, l’annuité constante vaut environ $11\,019{,}60$.

💡 Astuce mémo

Capitalisation = multiplication répétée : $C\to C(1+i)^n$ (suite géométrique).

📖 12. Taux équivalent périodique et valeur acquise

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux équivalent périodique : Le taux équivalent périodique est un taux ramené à une même durée de période pour obtenir le même effet d’évolution que le taux initial sur une autre durée.
• Valeur acquise : La valeur acquise est le montant obtenu après capitalisation, c’est-à-dire après application des intérêts sur la durée considérée.
• Capitalisation : La capitalisation est le mécanisme qui transforme un capital initial en valeur acquise en ajoutant des intérêts à chaque période.
• Période de référence : La période de référence est la durée choisie pour exprimer le taux et pour compter le nombre de capitalisations.

📝 Points essentiels

• Le taux équivalent périodique sert à remplacer un taux exprimé sur une autre durée par un taux exprimé sur la même période que celle utilisée pour la capitalisation.
• La valeur acquise s’obtient en appliquant la capitalisation sur le nombre de périodes correspondant à la durée totale.
• Pour calculer une valeur acquise, on doit être cohérent entre la période du taux et le nombre de périodes utilisées.
• Si le taux est ramené à une période plus courte, le nombre de périodes augmente et le taux par période diminue pour garder le même effet global.
• La valeur acquise dépend du capital initial, du taux par période et du nombre de périodes, via une logique de croissance par intérêts.
• En pratique d’examen, on vérifie toujours l’unité de temps (mois, trimestre, année) avant de convertir le taux en taux équivalent périodique.

💡 Astuce mémo

Conversion = même effet : même durée totale → même valeur acquise, donc on ajuste à la fois le taux par période et le nombre de périodes.

📊 Tableaux de synthèse

Proportion : 3 modes de calcul

Données	Formule	But
Effectifs partiel et total	p = n/N	Calculer la proportion d’une partie de la population
Part et taux (en décimal)	Total = Part ÷ taux	Retrouver l’effectif total
Part et taux (en %)	Part = Total × (taux/100)	Calculer la part correspondante

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre effectif partiel n et effectif total N : la proportion se calcule toujours par rapport à la population de référence.
2. Utiliser le TTC pour calculer la TVA : la formule de TVA doit utiliser le prix HT comme base.
3. Additionner des taux d’évolution successifs : on multiplie les coefficients multiplicateurs, les taux ne s’additionnent pas directement.
4. Confondre taux réciproque et taux moyen : le réciproque annule une variation précédente sur la même valeur, le moyen annuel reproduit le même résultat global sur n périodes.
5. Pour passer d’un taux annuel à un taux mensuel équivalent, diviser par 12 : il faut utiliser (1+r)^{12} = 1+T.
6. En probabilités conditionnelles, garder le mauvais univers : P(A|B) se calcule avec les données de l’événement B, pas avec l’univers total.
7. En suites, confondre suite arithmétique et géométrique : arithmétique = +r, géométrique = ×q (raison).

✅ Checklist Examen

1. Définir population, individu, effectif total N, effectif partiel n et proportion p, puis donner les 3 formes possibles (fraction, décimal, pourcentage).
2. Calculer une proportion à partir d’un tableau d’effectifs : déterminer N, déterminer n, puis calculer p = n/N et convertir en % si demandé.
3. Résoudre un problème de proportion en contexte : retrouver un total à partir d’une part et d’un taux, ou retrouver une part à partir d’un total et d’un taux.
4. Calculer une TVA correctement : utiliser HT comme base, appliquer TVA = HT × taux, puis TTC = HT + TVA.
5. En évolution, calculer variation relative (taux d’évolution) et coefficient multiplicateur k = 1+t, puis retrouver V’ = V×k ou V = V’/k.
6. Pour des évolutions successives, calculer le coefficient multiplicateur global comme produit des k, puis en déduire le taux global.
7. Calculer un taux réciproque : retrouver le taux qui annule une hausse/baisse précédente via le coefficient multiplicateur réciproque.
8. Calculer un taux moyen annuel : utiliser (1+t_moy)^n = 1+t_global (racine n-ième), puis donner t_moy en %.
9. Convertir un taux annuel en taux mensuel équivalent : résoudre (1+r)^{12} = 1+T et ne pas diviser par 12.
10. En suites arithmétiques, identifier raison r, écrire u_n = u_0 + n r (ou u_1 + (n-1)r) et déterminer le sens de variation via r.
11. En suites géométriques, identifier premier terme et raison q, écrire u_n = u_0 q^n (ou u_1 q^{n-1}) et déterminer le sens de variation via q.
12. En séries statistiques à une variable, calculer/identifier moyenne, médiane (selon N pair/impair), quartiles (rangs 0,25N et 0,75N avec arrondi à l’entier supérieur), variance V et écart-type σ = √V.
13. En séries à deux variables, lire un nuage, utiliser l’ajustement affine y = ax + b (moindres carrés), interpréter le coefficient de corrélation r et estimer/prévoir y pour un x donné.
14. En probabilités, calculer P(A), P(A^c), P(A∪B) et P(A∩B), puis appliquer la formule de probabilité conditionnelle P(A|B)=P(A∩B)/P(B).