Hoja de repaso: Géométrie vectorielle dans le plan

📋 Plan du Cours

1. Repère orthonormé
2. Coordonnées vecteurs
3. Norme vecteur
4. Addition vecteurs
5. Produit par réel
6. Milieu segment
7. Vecteurs colinéaires
8. Déterminant vecteurs
9. Parallélisme droites
10. Alignement points

📖 1. Repère orthonormé

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère orthonormé :
  Soient O, I et J trois points distincts du plan. Le triplet (O; I, J) forme un repère du plan si les points O, I et J ne sont pas alignés.
  O est l’origine du repère. Les droites orientées (OI) et (OJ) sont respectivement les axes des abscisses et des ordonnées. Si (OI) ⟂ (OJ) et OI = OJ, le repère est dit orthonormé.

• Base de vecteurs orthonormée :
  Un couple (→i , →j ) de deux vecteurs non nuls, non alignés, qui ont des directions perpendiculaires et une norme égale à 1.
  La base est dite orthonormée si ces deux conditions sont remplies.

• Coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé :
  Dans un repère (O; →i , →j ), les coordonnées du vecteur →u sont celles du point M tel que →u = →OM.
  Si M a pour coordonnées (x; y), alors →u a pour coordonnées (x/y).
  →u peut se décomposer en →u = x →i + y →j.
  Un vecteur nul a ses coordonnées (0/0).

📝 Points essentiels

• Un repère (O; I, J) est orthonormé si (OI) ⟂ (OJ) et OI = OJ.
• La notation du repère peut être (O; →i , →j ), avec →i = →OI et →j = →OJ.
• Les coordonnées d’un vecteur →u dans ce repère sont déterminées par le point M tel que →u = →OM.
• Deux vecteurs →u (x/y) et →v (x′/y′) sont égaux si et seulement si x = x′ et y = y′.
• La décomposition d’un vecteur →u dans un repère orthonormé est →u = x →i + y →j, avec (x; y) ses coordonnées.

💡 À retenir

Un repère orthonormé est un système de référence où les axes sont perpendiculaires, de même longueur, permettant d’associer à chaque vecteur ses coordonnées uniques, facilitant leur manipulation dans le plan.

📖 2. Coordonnées vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé :
  Soit (O; →i, →j) un repère orthonormé. Le vecteur →u est associé à un point M tel que →u = →OM.
  Si M a pour coordonnées (x; y), alors →u a pour coordonnées (x; y).
  La décomposition de →u en une somme de deux vecteurs →u = x →i + y →j permet d’obtenir ses coordonnées.

• Coordonnées d’un point dans un repère orthonormé :
  Un point A(xA; yA) dans un repère (O; →i, →j) est associé à ses coordonnées xA et yA, qui représentent sa position par rapport à l’origine O selon les axes →i et →j.

• Calcul des coordonnées de vecteurs :
  Pour deux points A(xA; yA) et B(xB; yB), le vecteur →AB a pour coordonnées (xB − xA / yB − yA).

📝 Points essentiels

• La norme d’un vecteur →u (x/y) est donnée par ‖→u‖ = √(x² + y²).
• Deux vecteurs →u (x/y) et →v (x′/y′) sont égaux si et seulement si x = x′ et y = y′.
• La décomposition d’un vecteur →u dans un repère orthonormé s’écrit →u = x →i + y →j, où (x; y) sont ses coordonnées.
• Les coordonnées d’un vecteur →AB sont calculées par la différence des coordonnées de B et A : (xB − xA / yB − yA).
• Le point milieu I de [AB] a pour coordonnées ( (xA + xB)/2 ; (yA + yB)/2 ).

💡 À retenir

Les coordonnées d’un vecteur dans un repère orthonormé sont obtenues par la décomposition du vecteur en ses composantes selon →i et →j, tandis que celles d’un point sont ses positions par rapport à l’origine. Le calcul des coordonnées de vecteurs repose sur la différence des coordonnées des points extrémités.

📖 3. Norme vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur :
  (AUTEUR) (date) : La norme d’un vecteur $\vec{u} (x/y)$ est la longueur ou la magnitude de ce vecteur, notée $\|\vec{u}\|$, et elle est définie par la formule $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

• Calcul de la norme d’un vecteur :
  La norme se calcule à partir de ses coordonnées dans une base orthonormée en utilisant la formule précédente. Elle représente la distance entre l’origine du repère et le point correspondant au vecteur.

📝 Points essentiels

• La norme d’un vecteur $\vec{u} (x/y)$ est donnée par $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}$.
• La norme est toujours un nombre réel positif ou nul.
• Si $\vec{u}$ a pour coordonnées $(x/y)$, alors $\|\vec{u}\|$ correspond à la longueur du segment allant de l’origine à un point de coordonnées $(x, y)$.
• La norme permet de mesurer la "taille" ou la "longueur" d’un vecteur dans le plan.

💡 À retenir

La norme d’un vecteur est la longueur du vecteur, calculée par la racine carrée de la somme des carrés de ses coordonnées.

📖 4. Addition vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de deux vecteurs : La somme de deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$, notée $\vec{u} + \vec{v}$, est un vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées correspondantes de $\vec{u}$ et $\vec{v}$.
  Propriété : Si $\vec{u} = (x/y)$ et $\vec{v} = (x'/y')$, alors $\vec{u} + \vec{v} = (x + x'/ / y + y')$.

• Addition de vecteurs : Opération consistant à combiner deux vecteurs pour obtenir un nouveau vecteur dont les coordonnées sont la somme des coordonnées de chaque vecteur initial.

📝 Points essentiels

• La somme de deux vecteurs $\vec{u} (x/y)$ et $\vec{v} (x'/y')$ se calcule en additionnant leurs coordonnées respectives :
  $\vec{u} + \vec{v} = (x + x'/ / y + y')$.

• La propriété de l'addition est simple : elle se fait composante par composante dans une base (ici, la base $\rightarrow i, \rightarrow j$).

• La somme de vecteurs est une opération interne à l'ensemble des vecteurs, respectant la commutativité et l'associativité (bien que ces propriétés ne soient pas explicitement mentionnées dans la source, elles sont implicites dans la définition).

💡 À retenir

L'addition de vecteurs consiste à additionner leurs coordonnées correspondantes, permettant de combiner deux déplacements en un seul.

📖 5. Produit par réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Produit par un réel d’un vecteur : Produit d’un vecteur par un réel, produit d’un vecteur par un scalaire, consiste à multiplier chaque coordonnée du vecteur par ce réel.
• Coordonnées du vecteur multiplié par un réel : Si →u (x/y) et k ∈ ℝ, alors le vecteur k →u a pour coordonnées (kx / ky).

📝 Points essentiels

• Le produit d’un vecteur →u (x/y) par un réel k ∈ ℝ donne un nouveau vecteur dont chaque coordonnée est le produit de la coordonnée correspondante du vecteur initiale par k.
• La formule est :
  $k \rightarrow u \text{ a pour coordonnées } (kx / ky)$
• Exemples d’application :
  • Si →u (3 / −2), alors −2 →u a pour coordonnées (−6 / 4).
  • La multiplication par un réel modifie la norme du vecteur : la norme de k →u est |k| × la norme de →u, mais cette propriété n’est pas explicitement mentionnée dans le contenu source.
• La multiplication par un réel est une opération qui conserve la direction du vecteur si k > 0, ou l’inverse si k < 0, tout en modifiant sa norme.

💡 À retenir

Le produit par un réel d’un vecteur consiste à multiplier chaque coordonnée du vecteur par ce réel, ce qui modifie sa norme et éventuellement sa direction selon le signe du scalaire.

📖 6. Milieu segment

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu d’un segment : Point qui divise un segment en deux parties de même longueur.
• Coordonnées du milieu d’un segment : Si A(xA; yA) et B(xB; yB) sont deux points du plan, alors le milieu I de [AB] a pour coordonnées
  $x_I = \frac{x_A + x_B}{2} \quad \text{et} \quad y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$

📝 Points essentiels

• Le point I est le milieu de [AB] si et seulement si →AI = 1/2 →AB.
• Les coordonnées du milieu I se calculent en faisant la moyenne des coordonnées des extrémités A et B.
• La formule : $x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$ et $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$.
• Cette propriété permet de déterminer rapidement le point de division médiane d’un segment dans un repère orthonormé.

💡 À retenir

Le milieu d’un segment est le point dont les coordonnées sont la moyenne des coordonnées des extrémités, ce qui divise le segment en deux parties égales.

📖 7. Vecteurs colinéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont dits colinéaires s'il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$ ou $\vec{v} = k \vec{u}$.
  (source : page 5)

• Propriété des vecteurs colinéaires : Deux vecteurs non nuls sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
  (source : page 5)

• Proportionnalité des vecteurs : Deux vecteurs $\vec{u}(x/y)$ et $\vec{v}(x'/y')$ sont proportionnels si et seulement si il existe $k \in \mathbb{R}$ tel que $x' = kx$ et $y' = ky$.
  (source : page 5)

📝 Points essentiels

• La colinéarité de deux vecteurs non nuls est équivalente à leur having la même direction.
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui implique qu'ils ont la même direction.
• Le vecteur nul est colinéaire à tous les vecteurs, ce qui ne concerne pas la proportionnalité mais la propriété particulière du vecteur nul.
• La démonstration du critère de colinéarité repose sur le déterminant : deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
• La relation de proportionnalité entre vecteurs permet de vérifier leur colinéarité en comparant leurs coordonnées.

💡 À retenir

Deux vecteurs sont colinéaires si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui revient à dire qu'ils ont la même direction ou que leur déterminant est nul.

📖 8. Déterminant vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Déterminant de deux vecteurs :
  Pour deux vecteurs $\vec{u} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$ et $\vec{v} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}$, le déterminant est défini par :
  $\det(\vec{u}, \vec{v}) = xy' - x'y$
  (source : page 6)

• Critère de colinéarité via le déterminant :
  Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul :
  $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$
  (source : page 6, théorème)

📝 Points essentiels

• Le déterminant $\det(\vec{u}, \vec{v})$ dépend de la base choisie, mais la propriété de colinéarité ne change pas.
• La colinéarité est caractérisée par la condition $\det(\vec{u}, \vec{v}) = 0$.
• Si $\det(\vec{u}, \vec{v}) \neq 0$, alors $\vec{u}$ et $\vec{v}$ ne sont pas colinéaires.
• La démonstration du théorème établit que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leur déterminant est nul, en utilisant la proportionnalité de leurs coordonnées.
• La propriété est symétrique : $\det(\vec{u}, \vec{v}) = -\det(\vec{v}, \vec{u})$.

💡 À retenir

Le déterminant de deux vecteurs est un outil essentiel pour tester leur colinéarité : il est nul si et seulement si ces vecteurs ont la même direction.

📖 9. Parallélisme droites

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélisme de droites : Deux droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires (voir section 3.1).
• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont colinéaires si il existe un réel $k$ tel que $\vec{u} = k \vec{v}$ ou $\vec{v} = k \vec{u}$.
• Parallélisme (critère) : La propriété indique que deux droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ce qui peut être vérifié par le déterminant (voir section 3.2).

📝 Points essentiels

• La colinéarité des vecteurs directeurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ est la condition nécessaire et suffisante pour que les droites $(AB)$ et $(CD)$ soient parallèles.
• La méthode pour vérifier le parallélisme consiste à calculer le déterminant $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{CD})$. Si ce déterminant est nul, alors $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, donc les droites sont parallèles.
• La propriété est symétrique : si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires, alors $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles.

💡 À retenir

Les droites sont parallèles si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont colinéaires, ce qui peut être vérifié par le déterminant nul de ces vecteurs.

📖 10. Alignement points

🔑 Notions clés & Définitions

• Alignement de points : Trois points $A, B, C$ du plan sont dits alignés si ils appartiennent à une même droite.
• Vecteurs associés à des points alignés : Deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont liés à des points $A, B, C$ alignés, si ces points sont alignés, alors ces vecteurs sont colinéaires.

📝 Points essentiels

• La colinéarité de deux vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ (issus de points $A, B, C$) caractérise l’alignement de ces points.
• La propriété fondamentale : trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• La colinéarité de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ est équivalente à leur déterminant étant nul : $\det(\overrightarrow{u}, \overrightarrow{v}) = 0$.
• La démonstration du théorème repose sur le fait que deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles, ce qui implique que les points correspondants sont alignés.
• La méthode pour vérifier si trois points sont alignés consiste à calculer $\det(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})$ : si le résultat est nul, ils sont alignés, sinon ils ne le sont pas.

💡 À retenir

Les trois points $A, B, C$ sont alignés si et seulement si le vecteur $\overrightarrow{AB}$ est colinéaire à $\overrightarrow{AC}$, ce qui se vérifie par le déterminant nul de ces deux vecteurs.

📅 Repères chronologiques

Date	Événement
(Aucune date spécifique n’est mentionnée dans le contenu fourni)

📊 Tableaux de Synthèse

Thème	Notions clés	Définition / Formule	Auteur / Référence
Repère orthonormé	Repère	O, I, J, axes perpendiculaires, même longueur	—
Coordonnées vecteurs	Décomposition →u = x →i + y →j	Coordonnées (x/y) du vecteur	—
Norme vecteur	Norme	$\|\vec{u}\|\ = \sqrt{x^2 + y^2}$	—
Addition vecteurs	Somme	$\vec{u} + \vec{v} = (x + x'/ / y + y')$	—
Produit par réel	Multiplication	$k \rightarrow u = (kx / ky)$	—
Milieu segment	Coordonnées	$x_I = \frac{x_A + x_B}{2}$, $y_I = \frac{y_A + y_B}{2}$	—

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre repère orthonormé et repère quelconque : ne pas vérifier que (OI) ⟂ (OJ) et OI = OJ.
2. Oublier que la norme d’un vecteur est toujours positive ou nulle, et la calculer avec $\sqrt{x^2 + y^2}$.
3. Confondre coordonnées d’un vecteur et coordonnées d’un point.
4. Mal appliquer la formule de la décomposition d’un vecteur : ne pas respecter la notation (x/y).
5. Confondre addition vectorielle et multiplication par un scalaire : ne pas multiplier chaque composante.
6. Oublier que le milieu d’un segment se calcule en faisant la moyenne des coordonnées.
7. Confondre vecteurs colinéaires et vecteurs orthogonaux : vérifier bien leur relation (colinéarité vs orthogonalité).

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition d’un repère orthonormé et ses propriétés.
• Savoir décomposer un vecteur en coordonnées dans un repère orthonormé.
• Maîtriser le calcul de la norme d’un vecteur avec la formule $\sqrt{x^2 + y^2}$.
• Savoir additionner deux vecteurs en additionnant leurs coordonnées.
• Comprendre et appliquer le produit d’un vecteur par un réel.
• Calculer les coordonnées du milieu d’un segment à partir de celles de ses extrémités.
• Savoir déterminer si deux vecteurs sont colinéaires ou orthogonaux.
• Connaître la formule du déterminant de deux vecteurs (si explicitement mentionnée dans le contenu).
• Maîtriser le concept de parallélisme entre droites à partir des vecteurs directeurs.
• Vérifier l’alignement de points en utilisant les vecteurs ou le déterminant.
• Connaître la définition de l’alignement points et leur relation avec la colinéarité.
• S’assurer de maîtriser la décomposition d’un vecteur dans une base orthonormée.
• Vérifier la propriété que deux vecteurs sont égaux si et seulement si leurs coordonnées sont égales.