Cuestionario: Introduction aux tests statistiques et lois de base — 12 preguntas

1. Quelle loi modélise le nombre de succès obtenus lors de n essais indépendants identiquement distribués, avec probabilité de succès p à chaque essai ?

A. La loi géométrique

B. La loi de Poisson

C. La loi binomiale

D. La loi exponentielle

Answer: (C)

Explicación

La loi binomiale compte le nombre de succès sur un nombre fixé d’essais indépendants de probabilité p. La loi géométrique compte, elle, le nombre d’essais jusqu’au premier succès.

2. Que vérifie un quantile q_{1-\alpha} d’une variable aléatoire X ?

A. P(X\le q_{1-\alpha})=1-\alpha

B. P(X=q_{1-\alpha})=\alpha

C. P(X\le q_{1-\alpha})=\alpha/2

D. P(X\ge q_{1-\alpha})=1-\alpha

Answer: (A)

Explicación

Par définition, le quantile d’ordre 1-\alpha laisse 1-\alpha de probabilité à gauche. C’est l’outil central pour construire des intervalles de confiance via les bornes critiques.

3. Dans un cadre de test statistique, à quoi sert principalement la loi de la statistique de test sous H0 ?

A. À définir l’échantillon observé

B. À fixer directement la p-valeur sans calcul

C. À garantir que H1 est vraie

D. À calibrer la décision entre H0 et H1

Answer: (D)

Explicación

La loi sous H0 permet de déterminer des seuils, des régions de rejet et des p-valeurs. C’est elle qui contrôle le niveau du test.

4. Dans le théorème de Neyman-Pearson, sur quel critère se construit le test le plus puissant entre deux hypothèses simples ?

A. Le rapport de vraisemblance

B. La fonction de répartition empirique

C. La moyenne empirique seule

D. La variance empirique seule

Answer: (A)

Explicación

Le test optimal classe les observations à l’aide du rapport de vraisemblance entre H1 et H0. Le théorème de Neyman-Pearson dit qu’un seuil sur ce rapport maximise la puissance à niveau fixé.

5. Sous l’hypothèse nulle, quelle est la loi de la p-valeur dans le cas idéal où la statistique de test est continue ?

A. Normale standard

B. Uniforme sur [0,1]

C. De Poisson

D. De Student

Answer: (B)

Explicación

Si la statistique est continue, la p-valeur est uniformément distribuée sur [0,1] sous H0. En revanche, dans le cas discret, elle n’est pas parfaitement uniforme.

6. Que justifie le théorème central limite dans le contexte des tests statistiques ?

A. Que toute variable aléatoire est exactement gaussienne

B. Que le rapport de vraisemblance est toujours constant

C. Que la p-valeur est toujours discrète

D. Qu’une somme ou moyenne i.i.d. peut être approchée par une loi gaussienne

Answer: (D)

Explicación

Le TCL permet d’approximer une somme ou une moyenne de variables i.i.d. par une gaussienne quand n est grand. Cela rend les p-valeurs et les tests plus simples à calculer.

7. Sous H0: \mu=\mu_0 avec variance inconnue, quelle statistique suit une loi de Student ?

A. \(\frac{\hat\sigma^2}{\bar X}\)

B. \(\frac{\bar X}{\sigma^2}\)

C. \(T=\frac{\sqrt{n}(\bar X-\mu_0)}{\hat\sigma}\)

D. \(\frac{X_1}{X_2}\)

Answer: (C)

Explicación

Quand la variance est inconnue, la statistique de Student remplace la variance vraie par l’écart-type empirique. Sous H0, elle suit une loi de Student à n-1 degrés de liberté.

8. Quel test utilise une statistique de type chi-deux pour tester une variance inconnue contre une alternative sur la variance ?

A. Le test de corrélation de Pearson

B. Le test de Kolmogorov-Smirnov

C. Le test sur la variance

D. Le test binomial

Answer: (C)

Explicación

Pour tester une hypothèse sur la variance, on utilise une statistique de type chi-deux puis un quantile de la loi correspondante. Le test de Fisher, lui, compare deux variances via un rapport de variances.

9. Quelle statistique sert au test du chi-deux d’adéquation à une loi ?

A. La plus grande différence entre deux quantiles

B. La somme des écarts au carré divisés par les effectifs attendus

C. Le rapport de deux variances

D. La moyenne des observations

Answer: (B)

Explicación

Le test du chi-deux repose sur la somme \(\sum (O_i-E_i)^2/E_i\), qui mesure l’écart entre effectifs observés et attendus. C’est cette statistique qu’on compare à une loi du chi-deux approchée.

10. Que mesure la statistique de Kolmogorov-Smirnov ?

A. La somme des carrés des écarts de classes

B. L’écart moyen entre les moyennes de groupes

C. Le rapport de vraisemblance entre deux hypothèses simples

D. La distance maximale entre la fonction de répartition empirique et une fonction théorique

Answer: (D)

Explicación

La statistique KS est la borne supérieure de |\hat F_n(x)-F_0(x)| sur tous les x. Elle mesure donc l’écart maximal entre la loi empirique et la loi théorique.

11. Dans un cadre ANOVA en dimension, quelle statistique suit une loi de Fisher sous H0 ?

A. \(\frac{\bar X-\mu}{\sigma}\)

B. \(\frac{S_{tot}}{S_{inter}}\)

C. \(F=\frac{S_{inter}/(I-1)}{S_{intra}/(n-I)}\)

D. \(\frac{\eta^2}{1-\eta^2}\)

Answer: (C)

Explicación

Sous H0, la statistique ANOVA/Fisher compare la variance inter-groupes à la variance intra-groupes normalisées par leurs degrés de liberté. Elle suit une loi de Fisher \(F(I-1,n-I)\) sous H0.

12. Dans le cas gaussien \(X\sim N(\theta,1)\) avec \(H_0:\theta=0\) et \(H_1:\theta\ge \rho\), quel test atteint le risque minimax ?

A. Le test de Kolmogorov-Smirnov

B. Le test basé sur la variance empirique

C. Le test seuil \(1\{X\ge \rho/2\}\)

D. Le test qui rejette pour les petites valeurs de X

Answer: (C)

Explicación

Le test seuil en \(\rho/2\) atteint exactement la borne minimax indiquée, avec un risque \(2(1-\Phi(\rho/2))\). Il est donc optimal au sens minimax.