Vecteur aléatoire (définition) : Un vecteur aléatoire $X = (X_1, \ldots, X_p) \in \mathbb{R}^p$ est un vecteur dont chaque composante $X_i$ est une variable aléatoire réelle. La fonction de répartition conjointe $F_X(t_1, \ldots, t_p)$ est définie par $F_X(t_1, \ldots, t_p) = P[X_1 \leq t_1, \ldots, X_p \leq t_p]$. Lèbre (UPVM) (date) : modélise le comportement simultané de plusieurs variables continues.
Fonction de répartition conjointe : La probabilité que chaque composante $X_i$ soit inférieure ou égale à un seuil $t_i$, pour tout $i$, exprimée par $F_X(t_1, \ldots, t_p)$. Elle caractérise la loi du vecteur aléatoire.
Densité d’un vecteur aléatoire continu : Si $X$ admet une densité $f_X$ par rapport à la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{R}^p$, alors $F_X(t) = \int_{-\infty}^{t_1} \cdots \int_{-\infty}^{t_p} f_X(u_1, \ldots, u_p) du_1 \cdots du_p$. La densité est reliée à la fonction de répartition par dérivation partielle : $f_X(t) = \frac{\partial^p}{\partial t_1 \cdots \partial t_p} F_X(t)$. Lèbre (UPVM) (date).
1. Qu'est-ce qu'un vecteur aléatoire dans le contexte des variables aléatoires multivariées?
2. Qu'est-ce qu'un vecteur aléatoire en statistique multivariée?
3. Quelle est la condition nécessaire pour qu’un vecteur gaussien ait une densité de probabilité?
Vecteur aléatoire — définition ?
Un vecteur dont chaque composante est une variable aléatoire réelle.
Vecteur aléatoire — définition ?
Vecteur de variables aléatoires réelles.
Lois de probabilité — rôle ?
Décrivent la loi de distribution d’une variable ou vecteur aléatoire.
Lois de probabilité — rôle ?
Modélisent le comportement aléatoire.
Fonction de densité — fonction ?
Décrit une loi continue, intégrale 1.
Fonction de répartition — rôle ?
Donne probabilités par seuils cumulés.
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