Analyse complète d'une parabole du second degré

📋 Plan du Cours

1. Définition polynôme degré 2
2. Formes de représentation
3. Discriminant et racines
4. Forme canonique et sommet
5. Variations parabole
6. Extremum et minimum/maximum
7. Symétrie parabole
8. Exemples de mise en forme
9. Preuve unicité forme canonique

📖 1. Définition polynôme degré 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Expression algébrique de la forme $ax^2 + bx + c$, où $a, b, c \in \mathbb{R}$ avec $a \neq 0$.
  Point essentiel : le degré est 2, ce qui signifie que la puissance la plus élevée de $x$ est 2.

• Fonction polynôme du second degré : Fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \mapsto ax^2 + bx + c$.
  Point essentiel : sa courbe représentative est une parabole.

• Discriminant ($\Delta$) : Nombre $\Delta = b^2 - 4ac$.
  Point essentiel : il détermine la nature des racines de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$.

• Forme canonique : Écriture de la fonction sous la forme $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, où $(\alpha, \beta)$ est le sommet de la parabole.
  Point essentiel : cette forme facilite l’étude des variations et de l’extremum.

• Sommet de la parabole : Point $S(\alpha, \beta)$ où la fonction atteint son extremum (minimum si $a > 0$, maximum si $a < 0$).
  Point essentiel : coordonnées $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.