Analyse des Limites en Mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Limites en +∞ et -∞
2. Limite finie en +∞
3. Limite en un réel a
4. Limite infinie en un réel a
5. Opérations sur les limites
6. Limites et comparaison
7. Limites et composition

📖 1. Limites en +∞ et -∞

🔑 Notions clés & Définitions

Limite infinie en +∞ :
Une fonction $f$ a pour limite $+\infty$ en $+\infty$ si, pour tout réel $A \geq 0$, tout intervalle ouvert de la forme $]A; +\infty[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand. On note $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

Limite infinie en -∞ :
Une fonction $f$ a pour limite $-\infty$ en $-\infty$ si, pour tout réel $A \geq 0$, tout intervalle ouvert de la forme $]-\infty; -A[$ contient toutes les valeurs de $f(x)$ pour $x$ suffisamment grand en valeur absolue. On note $\lim_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$.

📝 Points essentiels

La limite en $+\infty$ de la fonction $f(x) = x^2$ est $+\infty$ car, pour tout réel $A$, il existe un $x$ suffisamment grand tel que $f(x) = x^2 > A$. En effet, dès que $x$ est grand, $x^2$ dépasse tout réel $A$, ce qui montre que la fonction croît sans borne en $+\infty$.