Cuestionario: Analyse des variations et dérivées — 14 preguntas

1. Comment s’écrit le taux de variation d’une fonction entre les abscisses $a$ et $a+h$ ?

A. $\dfrac{a+h-a}{f(a+h)-f(a)}$

B. $\dfrac{f(a)-f(a+h)}{a}$ avec $h\neq 0$

C. $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ avec $h\neq 0$

D. $f(a+h)-f(a)$ sans division

Answer: (C)

Explicación

Le taux de variation est le quotient des différences des valeurs de la fonction par la différence des abscisses. Il s’écrit bien $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ avec $h\neq 0$.

2. Que représente la notation $\Delta f/\Delta x$ dans ce contexte ?

A. La même quantité que le taux de variation

B. Le coefficient directeur d’une tangente

C. L’ordonnée de la courbe au point d’abscisse $a$

D. La dérivée de la fonction au point considéré

Answer: (A)

Explicación

La notation $\Delta f/\Delta x$ désigne ici le quotient de différences, donc le taux de variation. Elle ne correspond pas encore à la dérivée, qui est une limite.

3. Quel lien relie le taux de variation entre $a$ et $a+h$ à une représentation graphique ?

A. Il correspond à l’ordonnée du point d’abscisse $a$

B. Il correspond au coefficient directeur de la droite reliant les points $(a,f(a))$ et $(a+h,f(a+h))$

C. Il correspond au point d’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses

D. Il correspond à l’aire sous la courbe entre $a$ et $a+h$

Answer: (B)

Explicación

Graphiquement, le taux de variation est la pente de la sécante passant par les deux points de la courbe. C’est donc le coefficient directeur de la droite qui les relie.

4. Sur la fonction $f(x)=0{,}5x^2+2$, quel est le taux de variation entre $2$ et $4$ ?

A. 4

B. 3

C. 2

D. 6

Answer: (B)

Explicación

On calcule $f(2)=4$ et $f(4)=10$, puis $\dfrac{10-4}{4-2}=3$. Le taux de variation vaut donc 3.

5. Si une fonction est croissante sur un intervalle, que peut-on dire de ses taux de variation sur cet intervalle ?

A. Ils sont positifs

B. Ils sont négatifs

C. Ils sont toujours nuls

D. Ils changent forcément de signe

Answer: (A)

Explicación

Sur un intervalle de croissance, les valeurs de la fonction augmentent quand l’abscisse augmente, donc les taux de variation sont positifs. Le cas contraire correspond à une fonction décroissante.

6. On sait que $f(0)=7$ et $f(5)=3$. Quel est le taux de variation entre 0 et 5 ?

A. $-0{,}8$

B. $0{,}8$

C. $-4$

D. $4$

Answer: (A)

Explicación

On applique $\dfrac{f(5)-f(0)}{5-0}=\dfrac{3-7}{5}=-0{,}8$. Le taux est donc négatif, ce qui est cohérent avec une décroissance.

7. Que représente le nombre dérivé $f'(a)$ lorsqu’il existe ?

A. Le taux de variation entre deux points quelconques de la courbe

B. L’ordonnée du point de tangence

C. La longueur de la corde reliant deux points

D. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$

Answer: (D)

Explicación

Le nombre dérivé est la pente limite de la courbe en $a$, donc le coefficient directeur de la tangente. Il ne s’agit pas du taux de variation entre deux points fixes.

8. Que peut-on conclure si la limite du taux de variation quand $h$ tend vers 0 existe en $a$ ?

A. La tangente est forcément horizontale en $a$

B. La fonction est forcément croissante en $a$

C. Le taux de variation est nul

D. La fonction est dérivable en $a$

Answer: (D)

Explicación

L’existence de cette limite signifie que le nombre dérivé $f'(a)$ existe, donc que la fonction est dérivable en $a$. Cela n’implique ni croissance ni tangente horizontale.

9. Quelle est la formule de l’équation de la tangente à la courbe de $f$ au point d’abscisse $a$ ?

A. $y=f'(a)x+f(a)$

B. $y=f'(a)(x-a)+f(a)$

C. $y=f(a)(x-a)+f'(a)$

D. $y=f'(x)(a-x)+f(a)$

Answer: (B)

Explicación

L’équation de la tangente s’écrit avec la pente $f'(a)$ et le point de contact $(a,f(a))$ : $y=f'(a)(x-a)+f(a)$. Cette forme assure bien que la droite passe par le point de tangence.

10. Si $f'(a)=0$, quelle est la forme de la tangente en ce point ?

A. Une droite de pente négative

B. Une droite verticale d’équation $x=k$

C. Une parabole d’équation $y=ax^2$

D. Une droite horizontale d’équation $y=k$

Answer: (D)

Explicación

Une dérivée nulle signifie que la pente de la tangente est nulle, donc la tangente est horizontale. Son équation est alors de la forme $y=k$.

11. Quelle est la dérivée de la fonction polynomiale f(x)=3x^2-4x+7 ?

A. f'(x)=6x+7

B. f'(x)=3x-4

C. f'(x)=x^2-4

D. f'(x)=6x-4

Answer: (D)

Explicación

On dérive terme à terme : la dérivée de 3x^2 est 6x, celle de -4x est -4 et celle de 7 est 0. La règle de dérivation des polynômes donne donc f'(x)=6x-4.

12. Quelle est la dérivée de la somme u(x)+v(x) lorsque u et v sont dérivables ?

A. u'(x)×v'(x)

B. u'(x)-v'(x)

C. u'(x)+v'(x)

D. u(x)+v(x)

Answer: (C)

Explicación

La règle de la somme dit que la dérivée d’une somme est la somme des dérivées. La multiplication de deux fonctions n’obéit pas à cette règle.

13. Que peut-on conclure si f'(x)>0 sur un intervalle I ?

A. f admet forcément un maximum sur I

B. f est décroissante sur I

C. f est croissante sur I

D. f est constante sur I

Answer: (C)

Explicación

Un signe positif de la dérivée signifie que la pente de la tangente est positive, donc la fonction croît sur l’intervalle. Ce n’est pas une situation de décroissance ni de constance.

14. Dans quel cas une fonction admet-elle un extremum local en a ?

A. Lorsque la tangente en a est horizontale sans autre condition

B. Lorsque f'(a)>0 sur tout l’intervalle

C. Lorsque f'(a)=0 et que f' change de signe en a

D. Lorsque f(a)=0 quel que soit le signe de f'

Answer: (C)

Explicación

Un extremum local apparaît quand la dérivée s’annule en a et change de signe de part et d’autre de a. Une tangente horizontale seule ne suffit pas à garantir un extremum.