Analyse du second degré : racines, forme canonique et signe

📋 Plan du Cours

1. Forme factorisée et racines réelles
2. Discriminant et forme canonique
3. Variations et sommet de la parabole
4. Équations du second degré selon le discriminant
5. Factorisation d’un trinôme selon le discriminant
6. Signe d’un trinôme du second degré

📖 1. Forme factorisée et racines réelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine réelle : Une racine réelle d’un polynôme f est un réel x0 tel que f(x0)=0, donc x0 est une solution de l’équation f(x)=0.
• Forme factorisée : La forme factorisée d’un polynôme du second degré est son écriture sous la forme a(x-x1)(x-x2) à partir de ses racines.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=ax^2+bx+c avec a≠0, x0 est une racine réelle exactement quand f(x0)=0.
• Si f admet deux racines distinctes x1 et x2, alors f(x)=a(x-x1)(x-x2).
• La factorisation dépend des racines réelles : si elles ne sont pas réelles, on ne peut pas factoriser dans ℝ.
• Une racine réelle correspond à l’intersection de la courbe avec l’axe des abscisses (y=0).

💡 Astuce mémo

Racine = zéro : f(x0)=0 ⇒ (x-x0) apparaît dans la factorisation.

📖 2. Discriminant et forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant : Le discriminant ∆ d’un polynôme ax^2+bx+c est le réel ∆=b^2-4ac qui permet de déterminer le nombre de solutions réelles.
• Forme canonique : La forme canonique d’un polynôme du second degré est l’écriture f(x)=a(x-α)^2+β, où α et β sont déterminés à partir de a,b,c.