Hoja de repaso: Calcul de la pente et tangente à une courbe

📋 Plan du Cours

1. Tangente et sécante sur une courbe
2. Taux d’accroissement et coefficient directeur
3. Nombre dérivé et fonction dérivable
4. Exemples de calcul du nombre dérivé
5. Équation de la tangente en un point

📖 1. Tangente et sécante sur une courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Sécante : La sécante est la droite passant par deux points de la courbe, utilisée pour approcher la pente locale.
• Tangente : La tangente est la position limite de la sécante quand le second point se rapproche du point d’étude sur la courbe.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le nombre qui mesure la pente d’une droite, ici celui de la sécante puis de la tangente.

📝 Points essentiels

• Pour a dans I et h réel, on considère A(a; f(a)) et M(a+h; f(a+h)).
• Le coefficient directeur de la sécante (AM) vaut (f(a+h)−f(a))/h.
• Ce quotient est appelé taux d’accroissement de f entre a et a+h.
• La tangente existe si la sécante admet une position limite quand h tend vers 0.
• Le coefficient directeur m de la tangente (s’il existe) est la limite du taux d’accroissement quand h→0.

💡 Astuce mémo

Sécante = pente moyenne (entre a et a+h), tangente = pente limite (quand h→0).

📖 2. Taux d’accroissement et coefficient directeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement est le rapport (f(a+h)−f(a))/h qui mesure la variation moyenne de f sur [a, a+h].
• Limite quand h tend vers zéro : La limite quand h→0 formalise l’idée de faire se rapprocher M de A pour obtenir la pente instantanée.

📝 Points essentiels

• Le taux d’accroissement s’écrit (f(a+h)−f(a))/(a+h−a) puis se simplifie en (f(a+h)−f(a))/h.
• Le coefficient directeur de la tangente est noté m et vaut m=lim(h→0) (f(a+h)−f(a))/h.
• Le calcul du coefficient directeur de la tangente repose uniquement sur la limite du taux d’accroissement.
• La tangente est associée au point d’abscisse a et non à un intervalle entier.
• Si la limite n’existe pas (ou n’est pas finie), la tangente au sens du cours n’est pas définie.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement / h : c’est la pente moyenne, puis on fait h→0 pour obtenir la pente de la tangente.

📖 3. Nombre dérivé et fonction dérivable

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable en a si son taux d’accroissement admet une limite finie quand h tend vers 0.
• Nombre dérivé : Le nombre dérivé de f en a est la valeur finie vers laquelle tend le taux d’accroissement quand h→0.
• Notation f’(a) : La notation f’(a) désigne le nombre dérivé de la fonction f en l’abscisse a.

📝 Points essentiels

• Si (f(a+h)−f(a))/h tend vers un nombre fini quand h→0, alors f est dérivable en a.
• Le nombre dérivé est défini par f’(a)=lim(h→0) (f(a+h)−f(a))/h.
• Le nombre dérivé correspond au coefficient directeur de la tangente au point d’abscisse a.
• La dérivabilité est une propriété locale en a (pas sur tout l’intervalle).
• Le cours relie directement dérivabilité et existence de la tangente au sens du coefficient directeur.

💡 Astuce mémo

Dérivable en a ⇔ limite du taux d’accroissement finie ⇔ f’(a) existe ⇔ pente de la tangente.

📖 4. Exemples de calcul du nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’un polynôme : Pour un polynôme, le nombre dérivé en a se calcule en évaluant la limite du taux d’accroissement.
• Limite du taux d’accroissement : Le calcul de f’(a) consiste à transformer (f(a+h)−f(a))/h puis à faire tendre h vers 0.

📝 Points essentiels

• Pour f(x)=3x²+4x−5, en a=1 on obtient (f(1+h)−f(1))/h=10+3h, donc f’(1)=10.
• Pour f(x)=−x²+3, on calcule (f(a+h)−f(a))/h=−2a−h.
• Pour f(x)=−x²+3, la limite quand h→0 donne f’(a)=−2a pour tout réel a.
• Le cours montre que la dérivée peut être calculée sans formule générale, uniquement via la limite.
• Dans les deux exemples, la simplification de l’expression en fonction de h permet de lire directement la limite.

💡 Astuce mémo

Après simplification, cherchez une forme « constante + terme en h » : la constante devient f’(a).

📖 5. Équation de la tangente en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Équation de la tangente : L’équation de la tangente est la relation entre x et y qui décrit la droite passant par le point de contact et de pente f’(a).
• Point de tangence : Le point de tangence est A(a; f(a)), où a est l’abscisse du point étudié sur la courbe.
• Forme y = f’(a)(x−a)+f(a) : La forme de l’équation de la tangente exprime y en fonction de la pente f’(a) et du décalage par rapport à a.

📝 Points essentiels

• Si f est dérivable en a, la tangente au point d’abscisse a a pour coefficient directeur m=f’(a).
• La tangente passe par A(a; f(a)), ce qui permet de déterminer le terme constant p.
• L’équation de la tangente s’écrit d’abord sous la forme y=f’(a)x+p.
• On obtient p=f(a)−f’(a)×a en utilisant le fait que le point A vérifie l’équation.
• La forme finale est y=f’(a)(x−a)+f(a).

💡 Astuce mémo

Tangente : pente f’(a) et passage par A(a; f(a)) ⇒ y=f’(a)(x−a)+f(a).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre le taux d’accroissement (f(a+h)−f(a))/h avec le coefficient directeur de la tangente : le premier est pour h≠0, le second est la limite quand h→0.
2. Oublier que la tangente utilise la limite en h→0 : remplacer h par 0 directement dans (f(a+h)−f(a))/h est incorrect.
3. Se tromper sur le point A : la tangente au point d’abscisse a passe par A(a; f(a)).
4. Inverser les termes dans le quotient : le dénominateur est h (donc a+h−a), pas f(a+h)−f(a).
5. Utiliser une équation de tangente sans le décalage (x−a) : la forme y=f’(a)(x−a)+f(a) évite les erreurs de constante.

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire le coefficient directeur de la sécante entre a et a+h : (f(a+h)−f(a))/h.
2. Savoir définir la tangente comme limite des sécantes quand h→0 et en déduire m=lim(h→0)(f(a+h)−f(a))/h.
3. Savoir reconnaître la dérivabilité en a : limite finie du taux d’accroissement quand h→0.
4. Savoir calculer f’(a) à partir de f’(a)=lim(h→0)(f(a+h)−f(a))/h en simplifiant l’expression en fonction de h.
5. Savoir écrire l’équation de la tangente en a sous la forme y=f’(a)(x−a)+f(a) et retrouver-la aussi via y=f’(a)x+p avec p=f(a)−f’(a)a.