Hoja de repaso: Calcul des variations et extrema

📋 Plan du Cours

1. Exemple de calcul de la dérivée
2. Dérivabilité et fonction dérivée
3. Formules de dérivation des fonctions usuelles
4. Opérations sur les fonctions dérivées
5. Méthode de calcul des dérivées
6. Lien entre signe de la dérivée et variations
7. Extremum via annulation et changement de signe

📖 1. Exemple de calcul de la dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre dérivé : Le nombre dérivé est la limite du taux d’accroissement quand $h$ tend vers 0, si elle existe.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée associe à chaque $x$ le nombre dérivé de la fonction en $x$.
• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement mesure la variation de $f$ sur un petit déplacement $h$, divisé par $h$.
• Limite en $h\to 0$ : La dérivation repose sur une limite qui transforme un quotient en une valeur instantanée.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=x^2$, on calcule $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ puis on simplifie avant de passer à la limite.
• On obtient $\dfrac{(a+h)^2-a^2}{h}=2a+h$ pour $h\neq 0$.
• En faisant tendre $h$ vers 0, on trouve $\lim_{h\to 0}(2a+h)=2a$.
• Pour tout $a$, le nombre dérivé de $x^2$ en $a$ vaut $2a$, donc $f'(x)=2x$.
• Le mot « dérivé » vient du latin « derivare » et a été introduit par Joseph Louis Lagrange pour l’idée de « provenir » d’une autre fonction.

💡 Astuce mémo

Taux d’accroissement → limite : $\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ devient la pente instantanée.

📖 2. Dérivabilité et fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivable sur un intervalle : Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle admet un nombre dérivé en tout réel de cet intervalle.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée est la fonction qui associe à chaque $x$ le nombre dérivé de $f$ en $x$.
• Notations $f'$ : La notation $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$.
• Intervalle de définition : L’intervalle de définition précise où la fonction (et donc la dérivabilité) est étudiée.

📝 Points essentiels

• Dire « $f$ est dérivable sur $I$ » signifie « $f$ est dérivable en tout $x\in I$ ».
• Si $f$ est dérivable sur $I$, alors $f'$ est définie sur $I$ et donne le nombre dérivé en chaque point.
• La fonction dérivée est construite à partir des limites du taux d’accroissement en chaque $x$.
• La dérivabilité dépend du domaine : si un point n’est pas dans l’ensemble de définition, on ne parle pas de dérivée en ce point.
• Le cours distingue explicitement des domaines comme $\mathbb{R}$ et $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ pour les formules.

💡 Astuce mémo

Dérivable sur $I$ = dérivable partout dans $I$ (pas seulement en un point).

📖 3. Formules de dérivation des fonctions usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Constante : Une fonction constante $f(x)=a$ a une dérivée nulle sur son ensemble de définition.
• Fonction affine : Une fonction affine $f(x)=ax$ a pour dérivée la constante $a$.
• Puissance entière : Pour $n\ge 1$, la dérivée de $x^n$ suit une règle de puissance.
• Inverse : La dérivée de $\dfrac{1}{x}$ est une fonction de type $-\dfrac{1}{x^2}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.
• Domaine excluant 0 : Certaines formules (inverse et puissances négatives) ne s’appliquent que sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

📝 Points essentiels

• Si $f(x)=a$ alors $f'(x)=0$ sur $\mathbb{R}$.
• Si $f(x)=ax$ alors $f'(x)=a$ sur $\mathbb{R}$.
• Si $f(x)=x^2$ alors $f'(x)=2x$ sur $\mathbb{R}$.
• Pour $f(x)=x^n$ avec $n\ge 1$, on a $f'(x)=n x^{n-1}$.
• Pour $f(x)=\dfrac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$, on a $f'(x)=-\dfrac{1}{x^2}$.
• Pour $f(x)=\dfrac{1}{x^n}$ avec $n\ge 1$ et $x\neq 0$, on a $f'(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}}$.

💡 Astuce mémo

Règle de puissance : on « descend » l’exposant et on réduit d’une unité ; pour l’inverse, le signe devient négatif.

📖 4. Opérations sur les fonctions dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de fonctions : La dérivée d’une somme est la somme des dérivées, dès que les fonctions sont dérivables sur le même intervalle.
• Produit de fonctions : La dérivée d’un produit combine les dérivées via une formule de type « produit ».
• Quotient de fonctions : La dérivée d’un quotient s’exprime avec une différence de produits au numérateur et un carré au dénominateur.
• Constante multiplicative : Multiplier une fonction par une constante multiplie aussi sa dérivée par la même constante.
• Fonction non nulle : Pour utiliser une formule de quotient, le dénominateur doit ne pas s’annuler sur l’intervalle considéré.

📝 Points essentiels

• Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$, alors $(u+v)'=u'+v'$ sur $I$.
• Si $k$ est une constante et $u$ dérivable sur $I$, alors $(ku)'=k\,u'$ sur $I$.
• Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$, alors $(uv)'=u'v+uv'$ sur $I$.
• Si $u$ et $v$ sont dérivables sur $I$ et $v$ ne s’annule pas sur $I$, alors $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$.
• Le cours illustre la somme avec $f(x)=x+x^2$ et obtient $f'(x)=1+2x$.
• Le cours illustre aussi l’inverse via une démonstration de limite pour $\dfrac{1}{x}$.

💡 Astuce mémo

Somme : + ; Produit : $u'v+uv'$ ; Quotient : $\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$ (le carré est au bas).

📖 5. Méthode de calcul des dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Décomposition en $u$ et $v$ : On réécrit une expression comme somme, produit ou quotient de fonctions simples $u$ et $v$ pour appliquer les règles.
• Règle de la constante : Une constante multiplicative se factorise directement dans la dérivée.
• Règle du produit : La dérivée d’un produit se calcule en combinant dérivées et fonctions non dérivées selon la formule du produit.
• Règle du quotient : La dérivée d’un quotient se calcule avec la formule du quotient, sous condition que le dénominateur ne s’annule pas.

📝 Points essentiels

• Pour $f_1(x)=5x^3$, on pose $u(x)=x^3$ puis $f_1'(x)=5u'(x)=15x^2$.
• Pour $f_2(x)=3x^2+4x$, on sépare en somme et on obtient $f_2'(x)=6x+2x$ (selon le calcul présenté).
• Pour $f_3(x)=\dfrac{1}{2x^2+5x}$, on utilise la dérivée de l’inverse : $f_3'(x)=-\dfrac{u'(x)}{(u(x))^2}$ avec $u(x)=2x^2+5x$.
• Pour $f_4(x)=(3x^2+4x)(5x-1)$, on applique la règle du produit et le cours aboutit à $f_4'(x)=45x^2+34x-4$.
• Pour $f_5(x)=\dfrac{6x-5}{x^3-2x^2-1}$, on applique la règle du quotient et le cours donne $f_5'(x)=\dfrac{-12x^3+27x^2-20x-6}{(x^3-2x^2-1)^2}$.
• Le cours indique qu’un logiciel de calcul formel peut vérifier les résultats.

💡 Astuce mémo

Toujours chercher la forme : somme, produit, quotient ; puis poser $u$ et $v$ pour appliquer la bonne règle.

📖 6. Lien entre signe de la dérivée et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Variations d’une fonction : Les variations décrivent si une fonction augmente ou diminue quand on se déplace sur un intervalle.
• Dérivée positive : Une dérivée positive sur un intervalle indique une croissance de la fonction sur cet intervalle.
• Dérivée négative : Une dérivée négative sur un intervalle indique une décroissance de la fonction sur cet intervalle.
• Tableau de variations : Un tableau de variations résume le signe de la dérivée et le sens des variations de la fonction.

📝 Points essentiels

• Si $f'(x)\le 0$ sur $I$, alors $f$ est décroissante sur $I$.
• Si $f'(x)\ge 0$ sur $I$, alors $f$ est croissante sur $I$.
• Le signe de $f'$ sert directement à dresser le tableau de variations sans calcul de valeurs supplémentaires.
• Pour étudier les variations, on commence par résoudre $f'(x)=0$ pour repérer les changements de signe.
• Le cours applique la méthode à $f(x)=x^3+\dfrac{9}{2}x^2-12x+5$ et trouve $f'(x)=3x^2+9x-12$.
• Le discriminant du trinôme $3x^2+9x-12$ vaut $225$ et l’équation $f'(x)=0$ donne $x=-4$ et $x=1$.

💡 Astuce mémo

Signe de $f'$ → sens : $+$ croissance, $-$ décroissance (et les zéros servent de bornes).

📖 7. Extremum via annulation et changement de signe

🔑 Notions clés & Définitions

• Extremum : Un extremum est une valeur maximale ou minimale atteinte par une fonction sur un intervalle.
• Annulation de la dérivée : L’annulation de $f'$ en un point candidat indique que la pente instantanée y est nulle.
• Changement de signe : Un changement de signe de $f'$ autour d’un point candidat indique un passage de croissance à décroissance ou l’inverse.
• Point critique : Un point où $f'(c)=0$ est un point critique à examiner pour l’existence d’un extremum.

📝 Points essentiels

• Si $f$ est dérivable sur un intervalle ouvert $I$ et si $f'(c)=0$ avec changement de signe, alors $f$ admet un extremum en $c$.
• Le cours présente la condition « dérivée nulle et changement de signe » comme critère admis.
• Pour $f(x)=5x^2-3x+4$, on calcule $f'(x)=10x-3$.
• On résout $f'(x)=0$ et on obtient $x=\dfrac{3}{10}$.
• Le tableau de variations montre un changement de signe de $f'$ en $\dfrac{3}{10}$, donc il y a un extremum.
• Le cours calcule la valeur minimale : $f\left(\dfrac{3}{10}\right)=\dfrac{71}{20}$.

💡 Astuce mémo

Extremum = $f'(c)=0$ + $f'$ change de signe : la pente s’inverse.

📊 Tableaux de synthèse

Signe de la dérivée et sens des variations

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre dérivable sur un intervalle et dérivable en un seul point : le cours exige la dérivabilité en tout $x\in I$.
2. Appliquer une formule d’inverse ou de quotient en oubliant le domaine : $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^n}$ ne sont valables que pour $x\neq 0$.
3. Se tromper de règle entre somme, produit et quotient : le quotient a un dénominateur au carré et un numérateur en différence.
4. Oublier que l’extremum nécessite un changement de signe de $f'$ : $f'(c)=0$ seul ne suffit pas dans le critère donné.
5. Dresser un tableau de variations sans résoudre $f'(x)=0$ pour repérer les bornes où le signe peut changer.

✅ Checklist Examen

1. Savoir calculer un nombre dérivé via $\lim_{h\to 0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}$ et en déduire $f'$ (exemple $x^2$).
2. Savoir définir la dérivabilité sur un intervalle et interpréter correctement la fonction dérivée $f'$.
3. Connaître et appliquer les formules de dérivation des fonctions usuelles : constante, $ax$, $x^n$, $\dfrac{1}{x}$ et $\dfrac{1}{x^n}$ avec les domaines.
4. Savoir dériver une somme, un produit et un quotient en utilisant les formules correspondantes et les conditions de non-annulation du dénominateur.
5. Savoir choisir une méthode de calcul en décomposant en $u$ et $v$ (constante multiplicative, somme, produit, quotient) pour obtenir une dérivée correcte.
6. Savoir relier le signe de $f'$ aux variations et dresser un tableau de variations à partir de la résolution de $f'(x)=0$.
7. Savoir décider de l’existence d’un extremum en vérifiant $f'(c)=0$ et un changement de signe, puis calculer la valeur de $f(c)$ à partir du point trouvé.