Hoja de repaso: Cinématique du point matériel

📋 Plan du Cours

1. Référentiels et repères
2. Position et vitesse
3. Accélération et base de Frenet
4. Mouvement rectiligne uniforme
5. Mouvement rectiligne uniformément varié
6. Mouvement circulaire uniforme

📖 1. Référentiels et repères

🔑 Notions clés & Définitions

• Référentiel : L’ensemble des repères liés à un solide considéré comme immobile.
• Référentiel terrestre : Tout repère dont l’origine est un point de la Terre et il suffit pour étudier les mouvements de courte durée au voisinage de la Terre.
• Repère d’espace : Associe un point fixe O lié au référentiel et une base de vecteurs unitaires.
• Repère de temps : Nécessite une origine des temps liée à un événement précis et un appareil permettant de mesurer le temps, comme un chronomètre.

📝 Points essentiels

📌 Le repère cartésien possède une base fixe, tandis que le repère de Frenet possède une base mobile et s’utilise pour les trajectoires planes.

📖 2. Position et vitesse

🔑 Notions clés & Définitions

• Équations horaires : Ou paramétriques donnent les coordonnées du point M en fonction du temps.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le vecteur position du point M s’écrit $\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$, où les coordonnées x, y et z dépendent du temps.

📐 Formule — Le vecteur vitesse est la dérivée temporelle du vecteur position : $\vec{V}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}=\dot{x}\vec{i}+\dot{y}\vec{j}+\dot{z}\vec{k}$.

Compléments

📐 Formule — Les composantes de la vitesse sont $V_x=\frac{dx}{dt}=\dot{x}$, $V_y=\frac{dy}{dt}=\dot{y}$ et $V_z=\frac{dz}{dt}=\dot{z}$.

💡 Astuce mémo

Position, puis dérivée : vitesse

📖 3. Accélération et base de Frenet

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs de Frenet : Dans la base de Frenet, $\vec{\tau}$ est le vecteur unitaire tangentiel et $\vec{\eta}$ est le vecteur unitaire normal à la trajectoire.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le vecteur accélération est la dérivée temporelle de la vitesse et s’écrit $\vec{a}=\frac{d\vec{V}}{dt}=\frac{d^2\overrightarrow{OM}}{dt^2}=\ddot{x}\vec{i}+\ddot{y}\vec{j}+\ddot{z}\vec{k}$.

📐 Formule — Dans la base de Frenet, l’accélération s’écrit $\vec{a}=a_t\vec{\tau}+a_n\vec{\eta}=\frac{dv}{dt}\vec{\tau}+\frac{v^2}{R}\vec{\eta}$.

📖 4. Mouvement rectiligne uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniforme : Possède une trajectoire droite et un vecteur vitesse constant.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un mouvement rectiligne uniforme, la position est donnée par $x(t)=v(t-t_0)+x_0$.

Compléments

• Dans un mouvement rectiligne uniforme, la trajectoire peut être choisie comme l’un des axes du repère, par exemple l’axe (O, i).

📖 5. Mouvement rectiligne uniformément varié

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement rectiligne uniformément varié : Possède un vecteur accélération constant.

★ À maîtriser

📐 Formule — La vitesse d’un MRUV vérifie $v(t)=a(t-t_0)+v_0$ et, pour $t_0=0$, $v(t)=at+v_0$.

📐 Formule — Pour $t_0=0$, l’équation horaire du MRUV est $x(t)=\frac{1}{2}at^2+v_0t+x_0$.

Compléments

📐 Formule — Entre deux positions d’un MRUV, la relation indépendante du temps est $v^2-v_0^2=2a(x-x_0)$.

• Un MRUV est accéléré lorsque $\vec{a}\cdot\vec{v}>0$ et retardé lorsque $\vec{a}\cdot\vec{v}<0$.

💡 Astuce mémo

Accélération → vitesse → position

📖 6. Mouvement circulaire uniforme

🔑 Notions clés & Définitions

• Mouvement circulaire uniforme : Possède une trajectoire circulaire et une vitesse instantanée de norme constante.

★ À maîtriser

📐 Formule — L’abscisse angulaire d’un mouvement circulaire uniforme vérifie $\theta(t)=\omega t+\theta_0$.

📐 Formule — La vitesse angulaire est $\omega(t)=\frac{d\theta(t)}{dt}=\dot{\theta}(t)$ et la vitesse linéaire vérifie $v=R\omega=R\frac{d\theta(t)}{dt}$.

📐 Formule — Pour un mouvement circulaire uniforme, l’accélération tangentielle est nulle et l’accélération normale centripète vaut $a_n=\frac{v^2}{R}=R\omega^2$.

📐 Formule — La période est le temps d’un tour et vérifie $T=\frac{2\pi}{\omega}$, tandis que la fréquence est le nombre de tours par seconde et vérifie $N=\frac{1}{T}=\frac{\omega}{2\pi}$.

Compléments

📐 Formule — L’abscisse curviligne est la longueur de l’arc décrit et vérifie $v(t)=\frac{ds(t)}{dt}$ ainsi que $s(t)=vt+s_0$.

💡 Astuce mémo

Angle → arc → vitesse → accélération → période

📊 Tableaux de synthèse

Grandeurs cinématiques

Grandeur	Définition	Expression
Position	Vecteur repérant M	$\overrightarrow{OM}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$
Vitesse	Dérivée de la position	$\vec{V}=\frac{d\overrightarrow{OM}}{dt}$
Accélération	Dérivée de la vitesse	$\vec{a}=\frac{d\vec{V}}{dt}$