Hoja de repaso: Comprendre les fonctions polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Fonction polynôme du second degré
2. Forme canonique
3. Déterminer la forme canonique
4. Variations et extremum
5. Sommet et axe de symétrie
6. Représentation graphique de la parabole

📖 1. Fonction polynôme du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Trinôme : Un trinôme est une fonction polynôme du second degré définie sur ℝ par une expression de la forme $ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
• Coefficient a non nul : La condition $a\neq0$ garantit que l’expression correspond bien à une fonction polynôme du second degré et non à une fonction de degré inférieur.
• Fonction polynôme du second degré : Une fonction polynôme du second degré est une fonction définie sur ℝ qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a,b,c$ réels et $a\neq0$.

📝 Points essentiels

• Une fonction polynôme du second degré s’écrit toujours sous la forme $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$.
• Si l’expression contient $x^2$ avec un coefficient non nul, c’est du second degré, même si elle est donnée sous une forme factorisée.
• $k(x)=(x-4)(5-2x)$ est une fonction polynôme du second degré.
• Une expression comportant uniquement des puissances supérieures (comme $x^4$) n’est pas du second degré, par exemple $5x^4-7x^2+3x-8$ est de degré 4.

💡 Astuce mémo

Regarde le terme $ax^2$ : s’il est présent avec $a\neq0$, c’est le second degré.

📖 2. Forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique : La forme canonique d’une fonction polynôme du second degré est l’écriture $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $\alpha$ et $\beta$ réels.
• **Parabole en $a(x-\alpha)^2+\beta** : L’écriture$a(x-\alpha)^2+\beta$met en évidence le décalage horizontal$\alpha$et la valeur verticale$\beta$.

📝 Points essentiels

• Toute fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\neq0$ peut s’écrire sous la forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• La forme $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ s’appelle la forme canonique de $f$.
• Dans l’exemple $f(x)=2x^2-20x+10$, la forme canonique obtenue est $f(x)=2(x-5)^2-40$.

💡 Astuce mémo

Complète le carré : $ax^2+bx+c$ devient $a(x-\alpha)^2+\beta$.

📖 3. Déterminer la forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Complétion du carré : La complétion du carré est la transformation qui réécrit $ax^2+bx+c$ sous la forme $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Valeur de $\alpha$ : Le nombre $\alpha$ est le décalage associé à la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Valeur de $\beta$ : Le nombre $\beta$ est la constante verticale de la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$.

📝 Points essentiels

• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on a $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$.
• Pour $f(x)=ax^2+bx+c$, on a $\beta=f\! \left(-\dfrac{b}{2a}\right)$, donc $\beta=f(\alpha)$.
• Avec $f(x)=2x^2-20x+10$, on obtient $\alpha=5$ puis $\beta=f(5)=-40$, d’où $f(x)=2(x-5)^2-40$.
• Quand on connaît déjà $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, on lit directement $\alpha$ et $\beta$ sans refaire la complétion du carré.

💡 Astuce mémo

$\alpha$ vient de $-\dfrac{b}{2a}$, puis $\beta$ se calcule par $f(\alpha)$.

📖 4. Variations et extremum

🔑 Notions clés & Définitions

• Extrémum : Un extrémum est la valeur minimale ou maximale atteinte par la fonction sur ℝ pour une fonction polynôme du second degré.
• Minimum : Un minimum est la plus petite valeur de $f(x)$ atteinte pour une valeur de $x$ donnée.
• Maximum : Un maximum est la plus grande valeur de $f(x)$ atteinte pour une valeur de $x$ donnée.

📝 Points essentiels

• Si $a>0$, la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ est d’abord décroissante puis croissante.
• Si $a<0$, la fonction $f(x)=ax^2+bx+c$ est d’abord croissante puis décroissante.
• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq0$, si $a>0$ alors $f$ admet un minimum en $x=\alpha$ égal à $\beta$.
• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\neq0$, si $a<0$ alors $f$ admet un maximum en $x=\alpha$ égal à $\beta$.
• Dans $f(x)=2(x-1)^2+3$, comme $2(x-1)^2\ge0$, on a $f(x)\ge3$ et le minimum vaut $3$ atteint en $x=1$.

💡 Astuce mémo

Signe de $a$ : $a>0$ bascule vers le minimum, $a<0$ bascule vers le maximum.

📖 5. Sommet et axe de symétrie

🔑 Notions clés & Définitions

• Sommet : Le sommet d’une parabole est le point de coordonnées $(\alpha;\beta)$ où la fonction atteint son extrémum.
• Axe de symétrie : L’axe de symétrie d’une parabole est la droite verticale $x=\alpha$ qui partage la courbe en deux parties symétriques.

📝 Points essentiels

• Le point $(\alpha;\beta)$ correspond à l’extremum de $f$ quand $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$.
• Pour $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$, l’axe de symétrie a pour équation $x=\alpha$.
• Si $f(x)=2x^2-12x+1$, alors $\alpha=-\dfrac{b}{2a}=3$.
• Pour $f(x)=2x^2-12x+1$, on calcule $\beta=f(3)=-17$, donc le sommet est $(3;-17)$.

💡 Astuce mémo

Sommet = $(\alpha;\beta)$ et symétrie = $x=\alpha$ : même $\alpha$ partout.

📖 6. Représentation graphique de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Parabole : La représentation graphique d’une fonction polynôme du second degré s’appelle une parabole.
• Caractéristiques de la parabole : Les caractéristiques d’une parabole sont notamment le sommet, l’axe de symétrie et quelques points de la courbe pour tracer.

📝 Points essentiels

• Pour tracer, on met d’abord la fonction sous la forme canonique si nécessaire, afin d’identifier facilement le sommet et l’orientation.
• Une parabole admet pour axe la droite $x=\alpha$ et les points symétriques par rapport à cet axe ont la même valeur de $f(x)$.
• Pour $f(x)=-x^2+4x$, on obtient la forme canonique $f(x)=-(x-2)^2+4$.
• Pour $f(x)=-x^2+4x$, le maximum vaut $4$ atteint en $x=2$, et on peut calculer $f(0)=0$ et $f(1)=3$ puis compléter par symétrie autour de $x=2$.

💡 Astuce mémo

Canonique d’abord : sommet et axe sortent tout de suite, puis tu complètes par symétrie.

📊 Tableaux de synthèse

Signe de a et variations

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ avec une simple factorisation : on peut avoir les mêmes idées de symétrie, mais la canonique donne directement $\alpha$ et $\beta$.
2. Oublier que $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ : utiliser $-\dfrac{a}{2b}$ donnerait un axe totalement faux.
3. Calculer $\beta$ comme $c$ : en réalité, $\beta$ correspond à $f(\alpha)$ et pas au terme constant $c$.
4. Prendre l’orientation de la parabole à l’envers : si $a>0$, c’est vers le haut, donc c’est un minimum et pas un maximum.
5. Tracer sans passer par l’axe $x=\alpha$ : tu dois utiliser la symétrie pour obtenir des points complémentaires fiables.
6. Confondre sommet et axe : le sommet est le point $(\alpha;\beta)$, tandis que l’axe est la droite $x=\alpha$.

✅ Checklist Examen

1. Identifier une fonction polynôme du second degré et vérifier que $a\neq0$.
2. Écrire une fonction sous la forme $ax^2+bx+c$ quand l’expression est donnée autrement (développer si besoin).
3. Reconnaître la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$ et associer $\alpha$ et $\beta$ à la parabole.
4. Calculer $\alpha=-\dfrac{b}{2a}$ pour passer en forme canonique.
5. Calculer $\beta$ via $\beta=f(\alpha)$ pour compléter $a(x-\alpha)^2+\beta$.
6. Transformer explicitement un exemple par complétion du carré (comme $2x^2-20x+10$).
7. Déterminer les variations à partir du signe de $a$ (décroissante puis croissante, ou l’inverse).
8. Déterminer l’extrémum (minimum ou maximum) et sa valeur à partir de $a(x-\alpha)^2+\beta$.
9. Donner le sommet $(\alpha;\beta)$ pour une fonction en forme canonique.
10. Donner l’axe de symétrie $x=\alpha$ et utiliser la symétrie pour obtenir des points à tracer.
11. Tracer la parabole en calculant quelques valeurs $f(x)$ puis en complétant par symétrie autour de l’axe.