Compter le nombre d’éléments qu’il contient
Explicación
Dénombrer consiste à déterminer le cardinal d’un ensemble fini, c’est-à-dire son nombre d’éléments. Les autres propositions ne définissent pas le dénombrement.
Ils n’ont aucun élément en commun
Explicación
Deux ensembles disjoints ne partagent aucun élément. Le fait d’avoir le même cardinal ou d’être égaux n’est pas lié à la disjonction.
Lorsque les ensembles sont deux à deux disjoints
Explicación
Le principe additif consiste à additionner les cardinaux d’ensembles disjoints. S’il y a recouvrement, il faut d’abord traiter les intersections.
En additionnant leurs cardinaux
Explicación
Pour des ensembles deux à deux disjoints, le cardinal de l’union est la somme des cardinaux. La multiplication relève du principe multiplicatif, pas du principe additif.
Le produit des cardinaux des ensembles
Explicación
Le principe multiplicatif dit que le cardinal d’un produit cartésien est le produit des cardinaux. Chaque coordonnée correspond à un choix indépendant.
24
Explicación
On applique le principe multiplicatif : 3 choix d’entrée, 4 de plat et 2 de dessert, donc 3×4×2=24. La réponse 12 correspondrait à un cas où un dessert serait imposé.
La présence plusieurs fois de la même valeur
Explicación
Un k-uplet avec répétition permet qu’un même élément apparaisse plusieurs fois. L’ordre reste pris en compte, contrairement aux combinaisons.
n^k
Explicación
Avec répétition, il y a n choix à chacune des k places, donc n^k possibilités. La formule n!/(n−k)! correspond aux arrangements sans répétition.
Un k-uplet d’éléments distincts
Explicación
Un arrangement est un choix ordonné de k éléments distincts parmi n. Ce n’est pas une combinaison, car l’ordre y compte.
n!/(n−k)!
Explicación
Le nombre d’arrangements vaut n×(n−1)×…×(n−k+1), soit n!/(n−k)!. La formule n!/(k!(n−k)!) correspond aux combinaisons.
120
Explicación
Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est n!. Ici, 5! = 120.
Un choix ordonné de tous les éléments sans répétition
Explicación
Une permutation utilise tous les éléments de l’ensemble, sans répétition, et l’ordre compte. Les autres propositions correspondent à d’autres notions comme les combinaisons ou les k-uplets avec répétition.
35
Explicación
Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n vaut n!/(k!(n−k)!). Donc C(7,3)=7!/(3!4!)=35.
L’ordre des éléments ne change pas le choix
Explicación
Une combinaison est un sous-ensemble : l’ordre n’a pas d’importance. Si l’ordre compte, on ne parle plus de combinaison.
Le nombre de combinaisons de k éléments parmi n
Explicación
Le coefficient binomial e_n^k f compte les combinaisons de k éléments parmi n. Il est donc directement lié au choix sans ordre et sans répétition.
e_n^k f = e_n^(n−k)f
Explicación
La symétrie des coefficients binomiaux donne e_n^k f = e_n^(n−k)f. Elle exprime que choisir k éléments revient à choisir les n−k restants.
e_n^k f + e_n^(k+1)f = e_(n+1)^(k+1)f
Explicación
La relation de Pascal relie deux coefficients adjacents d’une ligne à un coefficient de la ligne suivante. C’est le principe utilisé pour compléter le triangle.
À lire rapidement les coefficients binomiaux
Explicación
Le triangle de Pascal organise les coefficients binomiaux pour les lire ou les reconstruire rapidement. Il n’est pas destiné au dénombrement des permutations ou des produits cartésiens.
16
Explicación
Le nombre total de parties d’un ensemble à n éléments est 2^n. Pour 4 éléments, cela donne 2^4 = 16.
Chaque élément peut être choisi ou non choisi
Explicación
Pour chaque élément, il y a deux possibilités : l’inclure ou non. En multipliant ces deux choix pour chacun des n éléments, on obtient 2^n.
Choisir chaque élément dans ou hors de l’ensemble, soit 2 possibilités par élément
Explicación
Chaque élément peut être soit présent, soit absent d’une partie, ce qui donne 2 choix indépendants par élément et donc 2^n parties. L’addition des cardinaux concerne plutôt des ensembles disjoints, pas le dénombrement des sous-ensembles.
8
Explicación
Un ensemble à 3 éléments possède 2^3 parties, soit 8. On peut aussi les lister : l’ensemble vide, les trois parties à un élément, les trois à deux éléments et la partie entière.
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Ensemble fini — définition ?
Contient un nombre fini d’éléments.
Cardinal d’un ensemble — rôle ?
Compte le nombre d’éléments.
Dénombrer — signification ?
Compter le nombre d’éléments.
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