Cuestionario: Dérivation et convexité — 18 preguntas

1. Si u est définie sur I à valeurs dans J et v est définie sur J, comment définit-on la fonction composée v ∘ u sur I ?

A. Par (v ∘ u)(x) = u(v(x))

B. Par (v ∘ u)(x) = v(x) + u(x)

C. Par (v ∘ u)(x) = v(x)u(x)

D. Par (v ∘ u)(x) = v(u(x))

Answer: (D)

Explicación

La composée v ∘ u consiste à appliquer d’abord u, puis v : (v ∘ u)(x) = v(u(x)). L’ordre des fonctions détermine donc l’expression obtenue.

2. Quelle affirmation décrit correctement la composition de deux fonctions u et v ?

A. Elle est commutative lorsque les deux fonctions ont le même domaine.

B. Elle n’est généralement pas commutative, donc v ∘ u peut différer de u ∘ v.

C. Elle est commutative lorsque les deux fonctions sont dérivables.

D. Elle est toujours commutative, donc v ∘ u = u ∘ v.

Answer: (B)

Explicación

La composition des fonctions n’est en général pas commutative : l’ordre d’application peut modifier le résultat. Ainsi, v ∘ u et u ∘ v peuvent être différentes.

3. Si u et v sont dérivables et f = v ∘ u, quelle expression donne f'(x) ?

A. f'(x) = v'(u(x))u'(x)

B. f'(x) = v(u(x))u'(x)

C. f'(x) = v'(x)u'(x)

D. f'(x) = v(u'(x))

Answer: (A)

Explicación

La règle de dérivation d’une composée est (v ∘ u)'(x) = v'(u(x)) × u'(x). Il faut donc évaluer la dérivée de v en u(x), puis la multiplier par u'(x).

4. Quelle dérivée est correcte pour une fonction de la forme f(x)=1/[u(x)]^n, où u est dérivable ?

A. f'(x)=-nu'(x)/[u(x)]^{n+1}

B. f'(x)=u'(x)[u(x)]^{n-1}

C. f'(x)=-u'(x)/[u(x)]^2

D. f'(x)=nu'(x)[u(x)]^{n-1}

Answer: (A)

Explicación

La dérivée de 1/u^n est -nu'/u^{n+1}. Le signe négatif distingue cette formule de celle de u^n, dont la dérivée est nu'u^{n-1}.

5. Une fonction u est croissante et une fonction v est décroissante sur les intervalles concernés. Quelle est la monotonie de v ∘ u ?

A. Elle est décroissante, car les monotonies sont contraires.

B. Elle est constante, quelles que soient u et v.

C. Elle est nécessairement non monotone.

D. Elle est croissante, car u est croissante.

Answer: (A)

Explicación

La composition de deux fonctions de monotonies contraires est décroissante. Ici, u est croissante tandis que v est décroissante.

6. Que représente la dérivée seconde f'' d’une fonction f ?

A. La dérivée de f' sur l’intervalle considéré

B. La dérivée de f multipliée par f'

C. La dérivée de f par rapport à son domaine de définition

D. La dérivée de la fonction inverse de f

Answer: (A)

Explicación

Lorsque f' est elle-même dérivable, la dérivée seconde f'' est la dérivée de f' : f''(x) = (f'(x))'. Elle ne désigne donc pas directement la dérivée première de f.

7. Comment caractérise-t-on géométriquement une fonction convexe sur un intervalle ?

A. Sa courbe coïncide avec toutes ses sécantes

B. Sa courbe est située en dessous de ses tangentes

C. Sa courbe est située au-dessus de ses sécantes

D. Sa courbe est située en dessous de ses sécantes

Answer: (D)

Explicación

Une fonction est convexe lorsque sa courbe représentative est en dessous de ses sécantes sur l’intervalle considéré.

8. Une fonction dont la courbe représentative est au-dessus de ses sécantes sur un intervalle est dite comment ?

A. Dérivable

B. Convexe

C. Affine

D. Concave

Answer: (D)

Explicación

Une fonction est concave lorsque sa courbe représentative est au-dessus de ses sécantes, contrairement au cas d’une fonction convexe.

9. Pour une fonction dérivable, quelle position la courbe représentative d’une fonction convexe occupe-t-elle par rapport à ses tangentes ?

A. Elle est entièrement en dessous de chacune de ses tangentes

B. Elle traverse chacune de ses tangentes en deux points

C. Elle coïncide avec chacune de ses tangentes

D. Elle est entièrement au-dessus de chacune de ses tangentes

Answer: (D)

Explicación

Pour une fonction dérivable, la convexité équivaut au fait que la courbe est entièrement située au-dessus de chacune de ses tangentes.

10. Pour une fonction dérivable, quelle propriété caractérise la concavité par rapport aux tangentes ?

A. La courbe est parallèle à toutes ses tangentes

B. La courbe ne possède aucune tangente

C. La courbe est entièrement en dessous de ses tangentes

D. La courbe est entièrement au-dessus de ses tangentes

Answer: (C)

Explicación

Une fonction dérivable est concave lorsque sa courbe représentative est entièrement située en dessous de chacune de ses tangentes.

11. Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I. Quelle condition sur sa dérivée seconde permet de conclure qu’elle est convexe sur I ?

A. f''(x) ≤ 0 pour tout x de I

B. f''(x) ≥ 0 pour tout x de I

C. f'(x) est constante sur I

D. f'(x) est décroissante sur I

Answer: (B)

Explicación

La convexité équivaut à la croissance de f' et, lorsque f est deux fois dérivable, à la condition f''(x) ≥ 0 pour tout x de I.

12. Soit une fonction deux fois dérivable sur un intervalle I telle que f''(x) ≤ 0 pour tout x de I. Quelle conclusion peut-on tirer ?

A. f est convexe sur I et f' est croissante sur I

B. f est convexe sur I et f' est décroissante sur I

C. f est concave sur I et f' est décroissante sur I

D. f est concave sur I et f' est croissante sur I

Answer: (C)

Explicación

La condition f''(x) ≤ 0 équivaut à la décroissance de f' et caractérise la concavité de f sur I.

13. Quelle démarche permet de démontrer une inégalité en s’appuyant sur la convexité d’une fonction ?

A. Étudier les variations, choisir une asymptote, puis comparer la courbe à cette asymptote

B. Calculer uniquement la dérivée première, puis déterminer les zéros de la fonction

C. Étudier la convexité, choisir une tangente adaptée, puis comparer la courbe à cette tangente

D. Tracer la courbe, choisir un point quelconque, puis comparer ses ordonnées

Answer: (C)

Explicación

La méthode consiste à étudier la convexité, à déterminer une tangente pertinente et à utiliser la position de la courbe par rapport à cette tangente pour établir l’inégalité.

14. Pour tout réel négatif x, quelle inégalité obtient-on en étudiant la convexité de f(x)=x³−2x² et sa tangente en −1 ?

A. x³−2x² ≤ −7x+4

B. x³−2x² ≥ 7x+4

C. x³−2x² ≤ 7x+4

D. x³−2x² ≥ −7x−4

Answer: (C)

Explicación

L’étude de la convexité et de la tangente en −1 donne, pour tout x négatif, l’inégalité x³−2x² ≤ 7x+4.

15. Quelle propriété caractérise géométriquement un point d’inflexion ?

A. La courbe atteint nécessairement un maximum local

B. La courbe possède nécessairement une tangente horizontale

C. La courbe touche sa tangente sans la traverser

D. La courbe traverse sa tangente en ce point

Answer: (D)

Explicación

Un point d’inflexion est un point où la courbe représentative traverse sa tangente. Une simple tangence ne suffit pas à caractériser un point d’inflexion.

16. Pour une fonction deux fois dérivable, quelle condition permet de conclure que la courbe possède un point d’inflexion d’abscisse a ?

A. f s’annule en a et change de signe en a

B. f' s’annule en a et reste du même signe autour de a

C. f'' est strictement positive au voisinage de a

D. f'' s’annule en a et change de signe en a

Answer: (D)

Explicación

La condition est que f''(a)=0 et que f'' change de signe en a. L’annulation seule de f'' ne suffit pas à établir l’existence d’un point d’inflexion.

17. Quel tableau fournit directement des informations sur la convexité d’une fonction ?

A. Le tableau des valeurs de x

B. Le tableau des limites de f

C. Le tableau de f''

D. Le tableau de f

Answer: (C)

Explicación

Le tableau de f'' permet d’étudier directement la convexité et la concavité. Le tableau de f décrit principalement les variations de la fonction.

18. Sur une représentation graphique, que peut-on lire directement sur les courbes de f, f' ou f'' ?

A. Les valeurs exactes de toutes les dérivées en chaque point

B. Les intervalles de convexité et de concavité ainsi que les éventuels points d’inflexion

C. Les racines de toute fonction associée, même lorsqu’elles ne sont pas représentées

D. La formule algébrique de la fonction sans aucun calcul supplémentaire

Answer: (B)

Explicación

La lecture graphique permet d’identifier les intervalles de convexité et de concavité ainsi que les éventuels points d’inflexion. Le signe de f'' peut ensuite justifier analytiquement ces observations.