Cuestionario: Fonction exponentielle et ses propriétés — 16 preguntas

1. Quelle caractérisation définit la fonction exponentielle ?

A. La fonction dérivable sur R dont la dérivée est constante et égale à 1

B. La seule fonction dérivable sur R vérifiant f'(x)=f(x) et f(0)=1

C. La fonction polynomiale de degré 1 qui vaut 1 en 0

D. La fonction qui vérifie f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous réels x et y

Answer: (B)

Explicación

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur R telle que sa dérivée est elle-même et que sa valeur en 0 soit 1. Les autres propositions décrivent d’autres types de fonctions ou une mauvaise relation fonctionnelle.

2. À quoi sert la relation exp(x+y)=exp(x)×exp(y) ?

A. À rendre l’exponentielle périodique

B. À calculer la dérivée de exp(x)

C. À additionner directement deux valeurs exponentielles

D. À transformer une somme dans l’exposant en produit de deux exponentielles

Answer: (D)

Explicación

Cette relation fonctionnelle permet de réécrire une exponentielle d’une somme comme un produit, ce qui facilite les simplifications. Elle ne concerne pas la dérivation ni une addition de valeurs exponentielles.

3. Quel mathématicien a introduit dès 1360 des puissances fractionnaires dans De proportionibus ?

A. Euler

B. Nicole Oresme

C. Michael Stifel

D. Leibniz

Answer: (B)

Explicación

Nicole Oresme est cité comme l’introducteur des puissances fractionnaires vers 1360. Stifel, Leibniz et Euler interviennent à d’autres étapes de l’histoire de l’exponentielle.

4. Que désigne l’expression « gradus indefinitus » chez Leibniz ?

A. Un exposant variable

B. Une base toujours égale à 10

C. Une équation différentielle de croissance

D. Une suite de puissances entières positives

Answer: (A)

Explicación

Leibniz utilise « gradus indefinitus » pour désigner un exposant variable, lié à l’idée d’expression transcendante. Ce n’est ni une base fixe ni une suite de puissances entières.

5. D’où provient l’apparition du nombre e dans le cours ?

A. D’une suite géométrique à raison 1

B. D’un calcul de périmètre de cercle

C. Du mécanisme des intérêts composés quand la capitalisation devient de plus en plus fréquente

D. D’une factorisation de polynômes

Answer: (C)

Explicación

Le nombre e apparaît comme la limite liée aux intérêts composés lorsque la fréquence de capitalisation augmente sans cesse. Les autres propositions ne correspondent pas à la construction donnée.

6. Quelle propriété du nombre e est mise en avant ?

A. Il est toujours inférieur à 2

B. Il s’écrit comme une fraction de deux entiers

C. Il est un entier naturel positif

D. Il est irrationnel et possède une écriture décimale infinie sans suite logique

Answer: (D)

Explicación

Le texte précise que e est irrationnel, donc doté d’une écriture décimale infinie sans suite logique. Il ne s’agit ni d’un entier ni d’un nombre rationnel.

7. Dans le modèle de croissance bactérienne, que signifie l’égalité N'(t)=kN(t) ?

A. La dérivée de N est égale à une constante indépendante de N

B. Le nombre de bactéries est constant

C. La vitesse de croissance est proportionnelle au nombre de bactéries présentes

D. La croissance est linéaire en fonction du temps

Answer: (C)

Explicación

L’équation N'(t)=kN(t) traduit une croissance proportionnelle : plus il y a de bactéries, plus la croissance est rapide. Ce n’est ni une croissance constante ni linéaire en temps.

8. Dans l’exemple d’Escherichia coli présenté, quelle équation est obtenue ?

A. N(t)=k

B. N'(t)=N(t)

C. N'(t)=0

D. N'(t)=2N(t)

Answer: (B)

Explicación

Pour l’exemple traité, le coefficient de proportionnalité vaut k=1, donc l’équation devient N'(t)=N(t). Les autres équations ne correspondent pas à cet exemple.

9. Si f(x)=u(ax+b), quelle est la formule de f'(x) ?

A. f'(x)=u(ax+b)×(ax+b)

B. f'(x)=u'(ax+b)

C. f'(x)=a×u'(ax+b)

D. f'(x)=u'(x)+a+b

Answer: (C)

Explicación

La règle de dérivation affine ajoute le facteur a, issu de la dérivée de ax+b, puis on évalue u' en ax+b. Oublier ce facteur est une erreur classique.

10. Quelle est la dérivée de g(x)=f(-x) en appliquant la règle affine ?

A. g'(x)=-f'(-x)

B. g'(x)=-f(x)

C. g'(x)=f'(-x)

D. g'(x)=f(x)

Answer: (A)

Explicación

Comme l’intérieur est -x, sa dérivée vaut -1, ce qui donne g'(x)=-f'(-x). Le signe moins est essentiel et ne doit pas être oublié.

11. Quelle propriété caractérise la fonction exponentielle ?

A. Elle est l’unique fonction dérivable sur R telle que sa dérivée lui soit égale et qu’elle vaille 1 en 0

B. Elle est une fonction définie uniquement pour les nombres positifs et dont la dérivée est 0 en 0

C. Elle est la seule fonction continue sur R qui s’annule en 0 et dont la dérivée est constante

D. Elle est une fonction paire vérifiant f(x+y)=f(x)+f(y) pour tous réels x et y

Answer: (A)

Explicación

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur R vérifiant f'(x)=f(x) et f(0)=1. Les autres propositions confondent cette définition avec des propriétés d’autres types de fonctions.

12. Quelle relation fonctionnelle de l’exponentielle est correcte ?

A. exp(a+b)=exp(a)+exp(b)

B. exp(a+b)=exp(a)×exp(b)

C. exp(a-b)=exp(a)-exp(b)

D. exp(ab)=exp(a)+exp(b)

Answer: (B)

Explicación

La somme dans l’exposant devient un produit : exp(a+b)=exp(a)×exp(b). C’est une propriété fondamentale utilisée pour transformer et factoriser des expressions.

13. Quel est le signe de exp(x) pour tout réel x ?

A. Strictement positif

B. Nul pour x=0 et positif sinon

C. Alternativement positif et négatif selon x

D. Négatif pour x<0 et positif pour x>0

Answer: (A)

Explicación

On a exp(x)>0 pour tout réel x, y compris lorsque x est négatif. L’exponentielle ne s’annule jamais et ne change pas de signe.

14. Quelle propriété permet de conclure que la fonction exponentielle est strictement croissante sur R ?

A. Elle est définie seulement sur les nombres positifs

B. Sa dérivée est strictement positive sur R

C. Sa valeur en 0 est égale à 1

D. Sa dérivée est constante et égale à 0

Answer: (B)

Explicación

Comme exp'(x)=exp(x) et que exp(x)>0 pour tout x, la dérivée est strictement positive. Une fonction de dérivée strictement positive est strictement croissante.

15. Quelle égalité est vraie pour la dérivée d’une exponentielle composée avec une fonction u ?

A. (e^{u})' = u' + e^{u}

B. (e^{u})' = u × e^{u}

C. (e^{u})' = u' × e^{u}

D. (e^{u})' = e^{u'}

Answer: (C)

Explicación

La dérivée de e^{u(x)} est u'(x)×e^{u(x)} lorsque u est dérivable. Les autres formules oublient la règle de dérivation de la composée.

16. Comment varie la fonction e^{kx} selon le signe de k ?

A. Elle est décroissante si k>0 et croissante si k<0

B. Elle est croissante pour tout réel k

C. Elle est croissante si k>0 et décroissante si k<0

D. Elle est toujours constante

Answer: (C)

Explicación

Le signe de k détermine le sens de variation : k>0 donne une fonction strictement croissante, tandis que k<0 donne une fonction strictement décroissante. Cela découle de l’exponentielle et du coefficient dans l’exposant.