Fonction exponentielle et suites géométriques

📋 Plan du Cours

1. Définition fonction exponentielle
2. Propriétés algébriques
3. Identité e^0 et e^1
4. Relation e^{x+y}
5. Lien avec suites géométriques

📖 1. Définition fonction exponentielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction exponentielle : Il existe une unique fonction f, définie et dérivable sur R, telle que pour tout x ∈ R, f'(x) = f(x) et f(0) = 1. Cette fonction est appelée fonction exponentielle et notée exp : x ↦ exp(x).
• Fonction dérivable : Une fonction f est dérivable sur R si sa dérivée f' existe en chaque point de R. La dérivée f' mesure la variation instantanée de f.
• Fonction définie sur R : Une fonction dont le domaine est l'ensemble des nombres réels, c’est-à-dire qu’elle est valable pour tout x ∈ R.
• Notation exp(x) : La notation standard pour la fonction exponentielle, représentant la fonction unique vérifiant la condition ci-dessus.

📝 Points essentiels

Il existe une unique fonction f, dérivable sur R, qui vérifie simultanément que sa dérivée est égale à elle-même (f'(x) = f(x)) et que sa valeur en zéro est 1 (f(0) = 1). Cette fonction, appelée fonction exponentielle, est notée exp. Elle est définie et dérivable sur l’ensemble des réels R. La propriété fondamentale de cette fonction est que pour tout x, y ∈ R, exp(x + y) = exp(x) · exp(y), ce qui traduit une relation d’algèbre entre la somme et le produit. La fonction est caractérisée de manière unique par cette propriété et par sa valeur en zéro.