Cuestionario: Fonction exponentielle : propriétés et dérivées — 12 preguntas

1. Quelle est la caractérisation de la fonction exponentielle ?

A. La fonction continue sur R vérifiant f(x+y)=f(x)f(y)

B. La fonction dérivable sur R telle que f(0)=0 et f'(0)=1

C. La unique fonction dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0) = 1

D. La fonction positive sur R dont la dérivée est constante

Answer: (C)

Explicación

La fonction exponentielle est définie comme l’unique fonction dérivable sur R vérifiant f' = f et f(0)=1. Les autres propositions décrivent des propriétés incomplètes ou fausses.

2. Que désigne la notation exp(x) ?

A. La dérivée de e^x

B. La valeur de e en x=0

C. L’inverse de e^x

D. La même fonction que e^x

Answer: (D)

Explicación

La notation exp(x) est une écriture alternative de la fonction exponentielle, identique à e^x. Elle ne désigne ni une dérivée ni un inverse.

3. Quelle relation définit le nombre e ?

A. e est la dérivée de la fonction exponentielle en 1

B. e est l’image de 0 par la fonction exponentielle

C. e est la valeur de e^0

D. e est l’image de 1 par la fonction exponentielle

Answer: (D)

Explicación

Le nombre e est défini comme l’image de 1 par la fonction exponentielle, donc e = e^1. On sait aussi que e^0 = 1, ce qui est différent.

4. Quelle est la valeur de e^0 ?

A. 1

B. 0

C. e

D. 2,718281828

Answer: (A)

Explicación

Toute puissance de base non nulle à l’exposant 0 vaut 1, donc e^0 = 1. La valeur 2,718281828 correspond à e lui-même, pas à e^0.

5. Quelle égalité est correcte pour le produit de deux puissances de e ?

A. e^x · e^y = e^(xy)

B. e^x · e^y = e^(x-y)

C. e^x · e^y = e^(x/y)

D. e^x · e^y = e^(x+y)

Answer: (D)

Explicación

Le produit de deux puissances de même base s’obtient en additionnant les exposants : e^x · e^y = e^(x+y). Les autres réponses confondent produit, quotient et multiplication des exposants.

6. Comment peut-on réécrire 1 / e^x ?

A. e^(x-1)

B. e^(-x)

C. 1 / e^(x-1)

D. e^(1-x)

Answer: (B)

Explicación

L’inverse d’une puissance de e s’écrit avec l’exposant opposé : 1 / e^x = e^(-x). C’est une conséquence directe des règles sur les puissances.

7. Que permet de conclure l’égalité e^a = e^b ?

A. a = b

B. a > b

C. a = -b

D. a < b

Answer: (A)

Explicación

La fonction exponentielle étant strictement croissante, deux exponentielles de même base sont égales si et seulement si leurs exposants sont égaux. On lit donc directement l’égalité sur les exposants.

8. Si e^a < e^b, quelle relation entre a et b est vraie ?

A. a < b

B. a ≤ b

C. a > b

D. a = b

Answer: (A)

Explicación

Comme la fonction exponentielle est strictement croissante, elle conserve l’ordre : e^a < e^b équivaut à a < b. Les autres propositions contredisent cette croissance.

9. Quelle est la dérivée de e^x ?

A. x e^x

B. 1

C. e^x

D. e^(x-1)

Answer: (C)

Explicación

La fonction exponentielle est sa propre dérivée : (e^x)' = e^x. C’est une propriété fondamentale à retenir.

10. Quelle est la dérivée de g(x) = (x-1)e^x ?

A. e^x

B. x e^x

C. x e^(x-1)

D. (x-1)e^x

Answer: (B)

Explicación

En dérivant le produit (x-1)e^x, on obtient g'(x)=1·e^x+(x-1)·e^x, soit x e^x. Les autres réponses oublient une partie de la dérivation du produit.

11. Si f(t)=e^{kt} avec k réel constant, quelle est sa dérivée ?

A. f'(t)=k e^{kt}

B. f'(t)=e^k t

C. f'(t)=e^{kt}

D. f'(t)=kt e^{kt}

Answer: (A)

Explicación

Pour une fonction de la forme e^{kt}, la dérivée fait apparaître un facteur k : f'(t)=k e^{kt}. C’est l’application directe de la règle de dérivation de l’exponentielle composée.

12. Quelle est la dérivée de f(t)=5e^{-3t} ?

A. 5e^{-3t}

B. -15e^{-3t}

C. 15e^{-3t}

D. -3e^{-3t}

Answer: (B)

Explicación

On dérive e^{-3t} en multipliant par -3, puis on conserve le facteur 5 : f'(t)=5×(-3)e^{-3t}=-15e^{-3t}. La réponse 5e^{-3t} oublierait la dérivation.