Hoja de repaso: Fonctions et variations

📋 Plan du Cours

1. Notion d’image et d’antécédent
2. Calculs et tableaux de valeurs
3. Courbes et lectures graphiques
4. Fonctions affines et cas particuliers
5. Variations et taux de variation
6. Fonctions usuelles de référence
7. Équations, inéquations et zéros
8. Dérivée et tangente
9. Méthode et erreurs fréquentes

📖 1. Notion d’image et d’antécédent

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : Associe à chaque nombre x un unique nombre appelé son image, noté f(x).
• Image : Si f(3)=7, alors 7 est l’image de 3 par la fonction f.
• Antécédent : Si f(3)=7, alors 3 est un antécédent de 7 par la fonction f.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fonction se note $f:x\mapsto f(x)$ ou $y=f(x)$.

• Pour f(x)=2x+1, on obtient f(3)=2\times3+1=7.

📖 2. Calculs et tableaux de valeurs

★ À maîtriser

• Pour calculer une image f(a), on remplace x par a dans l’expression de la fonction, on effectue le calcul, puis on donne le résultat.

• Trouver l’antécédent de 11 par f(x)=2x+3 revient à résoudre 2x+3=11, ce qui donne x=4.

Compléments

• Pour f(x)=x^2-3x+2, l’image de 4 vaut f(4)=4^2-3\times4+2=6.

• Un tableau de valeurs permet de calculer plusieurs images et de constituer les points associés dans un repère.

• Pour f(x)=x^2+1, les valeurs de f(x) correspondant à x=-2,-1,0,1,2 sont respectivement 5,2,1,2,5.

📖 3. Courbes et lectures graphiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : C_f d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x;f(x)) dans un repère.

★ À maîtriser

• Pour lire f(2) graphiquement, on part de 2 sur l’axe des abscisses, on monte jusqu’à la courbe, puis on lit l’ordonnée correspondante.

• Pour trouver les antécédents de 3 graphiquement, on part de 3 sur l’axe des ordonnées, on rejoint horizontalement la courbe, puis on lit les abscisses obtenues.

Compléments

• Si f(2)=5, alors le point A(2;5) appartient à la courbe C_f.

• Les points d’un tableau de valeurs peuvent être placés dans un repère pour construire une représentation graphique.

💡 Astuce mémo

Abscisse vers courbe, puis ordonnée ; inversement pour un antécédent.

📖 4. Fonctions affines et cas particuliers

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction de la forme $f(x)=ax+b$, où a et b sont des nombres réels.
• Coefficient directeur : Dans une fonction affine f(x)=ax+b, a est le coefficient directeur et décrit l’évolution de la fonction lorsque x augmente.
• Ordonnée à l’origine : Dans une fonction affine f(x)=ax+b, b=f(0) et la droite coupe l’axe des ordonnées au point (0;b).
• Fonction linéaire : De la forme $f(x)=ax$, c’est-à-dire une fonction affine particulière pour laquelle b=0.
• Fonction constante : De la forme f(x)=b et donne la même image b quel que soit x ; sa représentation est une droite horizontale.

📖 5. Variations et taux de variation

★ À maîtriser

• Une fonction est croissante lorsque x et f(x) augmentent ensemble, décroissante lorsque f(x) diminue quand x augmente, et constante lorsqu’elle ne varie pas.

• Pour une fonction affine, a>0 implique que la fonction est croissante, a<0 qu’elle est décroissante, et a=0 qu’elle est constante.

📐 Formule — Entre deux nombres distincts a et b, le taux de variation est $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ avec a\neq b.

Compléments

• Pour f(x)=2x+1 entre 2 et 5, le taux de variation vaut $\frac{f(5)-f(2)}{5-2}=\frac{11-5}{3}=2$.

📌 Pour une fonction affine f(x)=ax+b, le taux de variation est toujours égal au coefficient directeur a.

📖 6. Fonctions usuelles de référence

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction carré : Définie par $f(x)=x^2$ et sa courbe est une parabole.
• Fonction inverse : Définie par $f(x)=\frac{1}{x}$ sur $\mathbb{R}\setminus\{0\}$.

★ À maîtriser

• Pour tout nombre x, on a $x^2\geq0$.

• La fonction carré est décroissante sur ]-\infty;0] et croissante sur [0;+\infty[ ; elle atteint son minimum 0 en x=0.

Compléments

• La fonction inverse est décroissante sur ]-\infty;0[ et sur ]0;+\infty[, et sa courbe est une hyperbole.

📖 7. Équations, inéquations et zéros

🔑 Notions clés & Définitions

• Zéro d’une fonction : Un zéro de f est un nombre x tel que f(x)=0 ; graphiquement, il correspond à l’abscisse d’un point où C_f coupe ou touche l’axe des abscisses.

★ À maîtriser

• Résoudre f(x)=k revient à chercher les antécédents de k par la fonction f.

• Pour résoudre f(x)=k graphiquement, on repère les intersections de C_f avec la droite horizontale y=k ; leurs abscisses sont les solutions.

• Pour résoudre f(x)>k graphiquement, on retient les abscisses où la courbe est au-dessus de y=k, et pour f(x)<k celles où elle est en dessous.

Compléments

• Les signes > et < désignent des inégalités strictes, tandis que ≥ et ≤ incluent l’égalité.

• Les zéros de f(x)=x^2-4 sont -2 et 2, car x^2-4=0 équivaut à x^2=4.

📖 8. Dérivée et tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée : F'(x) d’une fonction permet notamment d’étudier ses variations.
• Tangente : À la courbe de f au point d’abscisse a a pour coefficient directeur f'(a).

📝 Points essentiels

📐 Formule — La dérivée de la fonction carré est $\left(x^2\right)'=2x$.

• Le signe de f'(x) permet d’étudier les variations de f:
  • pour f(x)=x^2
  • f'(x)<0 si x<0
  • f'(x)>0 si x>0

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe de f au point d’abscisse a est $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

📖 9. Méthode et erreurs fréquentes

★ À maîtriser

• Pour une image, on calcule f(a) en remplaçant x par a ; pour un antécédent, on résout f(x)=a ; pour un zéro, on résout f(x)=0.

• Une expression contenant 1/x n’est pas définie pour x=0, car la division par zéro est impossible.

Compléments

📌 Lors du calcul de f(-3), il faut remplacer x par (-3) en conservant les parenthèses, par exemple f(-3)=(-3)^2+2(-3) pour f(x)=x^2+2x.

📌 Pour lire correctement un graphique, il faut vérifier l’échelle des axes horizontal et vertical, les unités et le caractère exact ou approximatif des valeurs demandées.

📊 Tableaux de synthèse

Types de fonctions usuelles

Fonction	Expression	Représentation	Propriété
Affine	f(x)=ax+b	Droite	a est le coefficient directeur et b=f(0)
Linéaire	f(x)=ax	Droite passant par l’origine	b=0
Constante	f(x)=b	Droite horizontale	Même image pour tout x