Hoja de repaso: Fonctions linéaires et affines

📋 Plan du Cours

1. Définition des fonctions linéaires ax
2. Coefficient directeur et équations d’antécédents
3. Représentation graphique des fonctions linéaires
4. Définition des fonctions affines ax plus b
5. Représentation graphique des fonctions affines
6. Calcul du coefficient directeur à partir de deux images
7. Déterminer l’expression d’une fonction affine

📖 1. Définition des fonctions linéaires ax

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction linéaire : Une fonction linéaire associe à tout nombre x le produit a×x, avec a non nul.
• Coefficient directeur : Le coefficient directeur est le nombre a qui multiplie x dans l’expression d’une fonction linéaire.
• Expression algébrique : L’expression algébrique est la formule qui donne directement f(x) sous la forme ax.
• Notation f : x ↦ a×x : La notation f : x ↦ a×x indique la règle de calcul qui transforme x en f(x).

📝 Points essentiels

• Une fonction linéaire s’écrit f(x)=ax avec a≠0.
• La règle de calcul est f : x ↦ a×x, donc f(x)=ax.
• L’expression f(x)=ax est l’expression algébrique de la fonction linéaire.
• Calculer une image revient à remplacer x par la valeur demandée dans ax.
• Calculer un antécédent revient à résoudre une équation de la forme ax = valeur.
• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine.

💡 Astuce mémo

LinÉaire = x multiplié : f(x)=a×x (zéro en entrée donne zéro en sortie).

📖 2. Coefficient directeur et équations d’antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Antécédent : Un antécédent d’un nombre y est la valeur de x telle que f(x)=y.
• Équation d’antécédent : Une équation d’antécédent est l’équation obtenue en remplaçant f(x) par la valeur cherchée.
• Résolution d’équation : La résolution d’équation consiste à trouver la valeur de x qui vérifie l’égalité demandée.

📝 Points essentiels

• Pour une fonction linéaire f(x)=ax, l’antécédent de 20 se trouve en résolvant ax=20.
• Dans l’exemple f(x)=5x, l’équation 5x=20 donne x=4.
• Dans l’exemple f(x)=5x, l’antécédent de -4 se trouve en résolvant 5x=-4.
• Calculer un antécédent revient toujours à transformer la question en équation.
• Le coefficient directeur a joue le rôle de multiplicateur dans l’équation.
• Le signe de a influence le signe des images et donc des antécédents.

💡 Astuce mémo

Antécédent = “on cherche x” : ax = y.

📖 3. Représentation graphique des fonctions linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite passant par l’origine : Une droite passant par l’origine est une droite dont le point (0,0) appartient à la représentation.
• Pente : La pente est le “niveau de montée” de la droite, liée à la valeur du coefficient directeur.
• Sens de variation : Le sens de variation décrit si la droite monte ou descend quand x augmente.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction linéaire est une droite passant par l’origine.
• Si a>0, la droite est ascendante de gauche à droite.
• Si a<0, la droite est descendante de gauche à droite.
• Plus |a| est grand, plus la pente est importante.
• Quand l’abscisse augmente de 1, l’ordonnée augmente de a.
• Pour f(x)=0,5x, g(x)=x et h(x)=-2x, les pentes diffèrent par le coefficient directeur.

💡 Astuce mémo

Signe de a = sens : a positif monte, a négatif descend.

📖 4. Définition des fonctions affines ax plus b

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction affine : Une fonction affine associe à x la valeur ax+b, avec a≠0.
• Coefficient directeur a : Le coefficient directeur a est le nombre qui multiplie x dans une fonction affine.
• Terme constant b : Le terme constant b est l’addition qui décale la fonction affine verticalement.
• Expression algébrique ax+b : L’expression algébrique d’une fonction affine est la formule f(x)=ax+b.

📝 Points essentiels

• Une fonction affine s’écrit f(x)=ax+b avec a≠0.
• La règle de calcul est f : x ↦ ax+b, donc f(x)=ax+b.
• Le coefficient directeur est a, et le terme constant est b.
• Calculer une image consiste à remplacer x par la valeur demandée dans ax+b.
• Calculer un antécédent revient à résoudre une équation de la forme ax+b = valeur.
• Une fonction affine ne traduit pas forcément une proportionnalité (elle ne passe pas par l’origine si b≠0).

💡 Astuce mémo

Affine = “multiplication + décalage” : ax + b.

📖 5. Représentation graphique des fonctions affines

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordonnée à l’origine : L’ordonnée à l’origine est la valeur de la fonction pour x=0, égale à b pour une fonction affine.
• Point (0,b) : Le point (0,b) est l’intersection de la droite avec l’axe des ordonnées pour une fonction affine.
• Droite de coefficient directeur a : La droite associée à une fonction affine a une pente égale au coefficient directeur a.
• Cas b=0 : Le cas b=0 correspond au moment où la fonction affine passe par l’origine.

📝 Points essentiels

• La représentation graphique d’une fonction affine est une droite de pente a.
• La droite passe par le point (0,b).
• b est appelé ordonnée à l’origine.
• Si b=0, la droite passe par l’origine.
• Une fonction affine ne passe pas par l’origine en général, contrairement à une fonction linéaire.
• Une fonction linéaire est un cas particulier de fonction affine (quand b=0).

💡 Astuce mémo

Ordonnée à l’origine = b : c’est la “hauteur” quand x=0.

📖 6. Calcul du coefficient directeur à partir de deux images

🔑 Notions clés & Définitions

• Deux images : Deux images sont les valeurs f(x1) et f(x2) obtenues pour deux abscisses distinctes x1 et x2.
• Coefficient directeur à partir de deux points : Le coefficient directeur peut se déterminer grâce aux deux points de la droite correspondant aux images.
• Accroissement : L’accroissement mesure le changement entre deux valeurs, utilisé pour relier variations de f et variations de x.

📝 Points essentiels

• Si on connaît f(x1) et f(x2) pour deux nombres distincts x1 et x2, on peut calculer a.
• Le coefficient directeur correspond à la pente de la droite passant par les deux points.
• Exemple : f(7)=15 et f(1)=3 permettent de calculer a.
• Dans l’exemple, le coefficient directeur trouvé est a=2.
• La droite associée “monte” avec une pente compatible avec a=2.
• La formule d’accroissements relie les variations de f aux variations de x (avec attention à l’énoncé de la vidéo).

💡 Astuce mémo

Pente = “variation de f” sur “variation de x” : c’est le coefficient directeur.

📖 7. Déterminer l’expression d’une fonction affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression algébrique d’une fonction affine : L’expression algébrique d’une fonction affine est de la forme f(x)=ax+b.
• Calcul de b : Calculer b consiste à déterminer le terme constant à partir d’une valeur de f(x) et de a.
• Points de la droite : Les points de la droite sont des couples (x,f(x)) qui permettent de reconstruire ax+b.
• Forme f(x)=ax+b : La forme f(x)=ax+b est la structure générale à retrouver pour une fonction affine.

📝 Points essentiels

• Si on connaît f(x1) et f(x2) pour une fonction affine, on peut déterminer f(x)=ax+b.
• On peut obtenir b par b = f(x1) − a x1 (ou b = f(x2) − a x2).
• Exemple : la droite passe par A(-2;9) et B(1;3).
• Dans l’exemple, on sait que f(-2)=9 et f(1)=3.
• L’exemple donne d’abord f(x)=-2x+b à partir du coefficient directeur trouvé par les points.
• En remplaçant f(-2)=9, on obtient b=5, donc f(x)=-2x+5.

💡 Astuce mémo

Trouver b = “valeur de f” − “partie ax” : b = f(x) − ax.

📊 Tableaux de synthèse

Fonction linéaire vs fonction affine

Type	Forme	Passage par l’origine
Linéaire	f(x)=ax	Oui (car b=0)
Affine	f(x)=ax+b	En général non (sauf b=0)

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre coefficient directeur a et ordonnée à l’origine b : a fixe la pente, b fixe la valeur en x=0.
2. Croire qu’une fonction affine passe toujours par l’origine : elle ne le fait que si b=0.
3. Oublier que trouver un antécédent revient à résoudre une équation (pas à “deviner” x).
4. Prendre le mauvais signe du coefficient directeur : il détermine le sens de la droite.
5. Utiliser une valeur de x au lieu de f(x) quand on calcule b (b = f(x) − ax).

✅ Checklist Examen

1. Savoir écrire une fonction linéaire sous la forme f(x)=ax avec a≠0 et donner le coefficient directeur.
2. Savoir calculer des images f(x) pour une fonction linéaire en remplaçant x dans ax.
3. Savoir trouver un antécédent pour une fonction linéaire en résolvant l’équation ax=y.
4. Savoir décrire la représentation graphique d’une fonction linéaire : droite passant par l’origine, sens selon le signe de a, pente selon |a|.
5. Savoir écrire une fonction affine sous la forme f(x)=ax+b avec a≠0 et identifier a et b.
6. Savoir calculer des images et des antécédents pour une fonction affine en utilisant ax+b et en résolvant ax+b=y.
7. Savoir donner la représentation graphique d’une fonction affine : droite de pente a passant par (0,b).
8. Savoir déterminer le coefficient directeur à partir de deux images f(x1) et f(x2) (pente de la droite).
9. Savoir déterminer l’expression f(x)=ax+b à partir de deux points (ou deux images) en calculant b via b=f(x1)−ax1 (ou b=f(x2)−ax2).