Hoja de repaso: Fundamentos de matemáticas

📋 Esquema del Curso

1. Potenciación y reglas de exponentes
2. Raíces cuadradas y cuadrados perfectos
3. Números enteros y operaciones
4. Números racionales y fracciones
5. Expresiones algebraicas
6. Funciones literales y sustitución
7. Plano cartesiano y cuadrantes

📖 1. Potenciación y reglas de exponentes

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Potenciación : Es una forma abreviada de escribir una multiplicación repetida del mismo número.
• Base y exponente : En la potencia $a^n$, $a$ es la base y $n$ es el exponente, que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

★ Imprescindible

📐 Fórmula — Al multiplicar potencias de la misma base, se conserva la base y se suman los exponentes: $a^m \times a^n = a^{m+n}$.

📐 Fórmula — Al dividir potencias de la misma base, se conserva la base y se restan los exponentes: $a^m \div a^n = a^{m-n}$.

📌 Cuando la base es negativa, un exponente par produce un resultado positivo y un exponente impar conserva el signo negativo.

Complementos

📐 Fórmula — La potencia de una potencia conserva la base y multiplica los exponentes: $(a^m)^n = a^{m\times n}$.

💡 Truco mnemotécnico

Base → exponente → resultado

📖 2. Raíces cuadradas y cuadrados perfectos

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Raíz cuadrada : De un número es el número que, multiplicado por sí mismo, produce el número inicial.
• Cuadrado perfecto : Es un número cuya raíz cuadrada es un número entero.

★ Imprescindible

📌 Una raíz cuadrada perfecta produce un número entero, mientras que una raíz cuadrada imperfecta produce un resultado no entero que puede expresarse mediante una aproximación.

Complementos

• Los cuadrados perfectos del 1 al 15 son 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196 y 225.

• La raíz cuadrada de 64 es 8 porque $8^2 = 64$.

• La raíz cuadrada de 20 es aproximadamente 4,47 porque ningún número entero multiplicado por sí mismo da exactamente 20.

💡 Truco mnemotécnico

Perfecta = entero; imperfecta = aproximación

📖 3. Números enteros y operaciones

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Números enteros : Los números enteros son los números sin parte decimal e incluyen los negativos, el cero y los positivos.

★ Imprescindible

• En la recta numérica, cuanto más a la derecha está un número, mayor es su valor.

• Al sumar números enteros del mismo signo, se suman sus valores y se conserva ese signo.

• Al sumar números enteros de signos diferentes, se restan los valores absolutos y se conserva el signo del número con mayor valor absoluto.

Complementos

• Entre los números negativos, $-2 > -8$ porque -2 está más cerca de cero.

📖 4. Números racionales y fracciones

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Número racional : Es un número que puede escribirse como una fracción $\frac{a}{b}$ con $b \ne 0$.

★ Imprescindible

• Para sumar fracciones con el mismo denominador, se suman los numeradores y se conserva el denominador.

• Para multiplicar fracciones, se multiplican entre sí los numeradores y entre sí los denominadores.

• Para dividir entre una fracción, se multiplica por su inversa.

Complementos

• Los números enteros también son racionales porque pueden escribirse como una fracción con denominador 1, por ejemplo $5 = \frac{5}{1}$.

• La división $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5}$ equivale a $\frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.

📖 5. Expresiones algebraicas

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Expresión algebraica : Una expresión algebraica es una expresión matemática que contiene números, letras y operaciones.
• Variable : En una expresión algebraica, una letra representa un número desconocido o una cantidad variable.

★ Imprescindible

• En la expresión $3x + 5$, 3 es el coeficiente, x es la variable, 5 es la constante y 3x y 5 son los términos.

• Para evaluar una expresión algebraica, se sustituye la variable por el valor dado y después se realizan las operaciones en el orden correcto.

Complementos

• El signo de multiplicación suele omitirse delante de una letra, por lo que $3 \times x$ se escribe $3x$.

📖 6. Funciones literales y sustitución

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Función literal : Una función literal utiliza letras para representar una relación entre diferentes cantidades y expresar una regla general con variables.

★ Imprescindible

📐 Fórmula — El área de un triángulo se expresa mediante $A = \frac{b \times h}{2}$, donde A es el área, b la base y h la altura.

• Una expresión literal puede tener formas como $x^2 + 3$, $2x + 5$ o $\frac{a}{b}$, por lo que no es automáticamente una función lineal.

Complementos

• Si $b = 6$ y $h = 4$, el área del triángulo es $A = \frac{6 \times 4}{2} = 12$.

• En la expresión $y = 2x + 1$, si $x = 3$, entonces $y = 2 \times 3 + 1 = 7$.

📖 7. Plano cartesiano y cuadrantes

🔑 Conceptos clave y definiciones

• Plano cartesiano : El plano cartesiano es un sistema que permite ubicar puntos mediante dos ejes.

★ Imprescindible

• El plano cartesiano tiene un eje horizontal X, un eje vertical Y y un origen O situado en el punto (0,0).

• En un punto escrito como (x, y), la primera coordenada indica la posición sobre el eje X y la segunda sobre el eje Y.

• Los cuadrantes se caracterizan así:

  • I tiene x positiva e y positiva
  • II
  • x negativa e y positiva
  • III
  • x negativa e y negativa
  • IV
  • x positiva
  • negativa

Complementos

• El punto A(3, 2) indica avanzar 3 unidades sobre el eje X y subir 2 unidades sobre el eje Y.