Hoja de repaso: Généralités sur les fonctions

📋 Plan du Cours

1. Définition et notation d’une fonction
2. Images et antécédents
3. Représentation graphique
4. Résolution graphique
5. Taux de variation
6. Variations et monotonie

📖 1. Définition et notation d’une fonction

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction : F associe à tout nombre réel x un unique nombre réel noté f(x).

📝 Points essentiels

📐 Formule — Une fonction peut être notée x ↦ f(x) ou y = f(x).

• La fonction qui exprime l’aire d’un rectangle de dimensions 3 et x est définie par f(x) = 3x.

💡 Astuce mémo

À chaque x, un unique f(x)

📖 2. Images et antécédents

🔑 Notions clés & Définitions

• Image : Si f(2) = 5, alors 5 est l’image de 2 par la fonction f.
• Antécédent : Si f(2) = 5, alors 2 est un antécédent de 5 par la fonction f.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour déterminer l’image d’un nombre par calcul, on remplace x par ce nombre dans l’expression de la fonction puis on effectue le calcul.

🔄 Processus — Pour déterminer un antécédent de y par calcul, on résout l’équation f(x) = y.

Compléments

• Pour g(x) = x² − 2, l’image de 6 est g(6) = 6² − 2 = 34.

• Pour f(x) = 2x − 3, l’antécédent de −5 est −1, car 2x − 3 = −5 donne x = −1.

💡 Astuce mémo

Image : x vers f(x)

📖 3. Représentation graphique

🔑 Notions clés & Définitions

• Courbe représentative : D’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour représenter graphiquement une fonction, on place dans un repère les couples (x ; f(x)) issus d’un tableau de valeurs, puis on relie les points.

📐 Formule — L’équation générale de la courbe représentative d’une fonction f est y = f(x).

Compléments

• Pour f(x) = 5x − x², le tableau fourni contient notamment le point (1 ; 4).

💡 Astuce mémo

Abscisse x, ordonnée f(x)

📖 4. Résolution graphique

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

🔄 Processus — Pour résoudre graphiquement f(x) = k, on repère l’ordonnée k, on rejoint la courbe et on lit les abscisses des points d’intersection.

📌 Une résolution graphique fournit des solutions approchées et ne garantit pas qu’il n’existe pas d’autres solutions en dehors de la représentation tracée.

🔄 Processus — Pour résoudre graphiquement f(x) > k, on repère les portions de courbe dont l’ordonnée est strictement supérieure à k, puis on lit leurs abscisses.

Compléments

• Pour f(x) = 5x − x², l’équation 5x − x² = 4 a pour solutions S = {1 ; 4}.

• Pour f(x) = 5x − x², l’inéquation 5x − x² > 4 a pour solution S = ]1 ; 4[.

💡 Astuce mémo

Une horizontale pour l’équation, une zone pour l’inéquation

📖 5. Taux de variation

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux de variation : De f entre a et b est le nombre (f(b) − f(a)) / (b − a).

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Le taux de variation de f entre a et b est la pente de la droite passant par les points de la courbe d’abscisses a et b.

Compléments

🔄 Processus — Pour calculer un taux de variation, on détermine f(a) et f(b), puis on applique la formule (f(b) − f(a)) / (b − a).

💡 Astuce mémo

Variation verticale sur variation horizontale

📖 6. Variations et monotonie

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction monotone : Une fonction est monotone sur un intervalle I si elle est croissante, décroissante ou constante sur I.

📝 Points essentiels

★ À maîtriser

📌 Si le taux de variation d’une fonction entre deux nombres quelconques d’un intervalle I est positif, alors la fonction est strictement croissante sur I.

📌 Si le taux de variation d’une fonction entre deux nombres quelconques d’un intervalle I est négatif, alors la fonction est strictement décroissante sur I.

Compléments

• Pour f(x) = 5x − 3, le taux de variation entre deux nombres distincts a et b vaut 5, donc f est strictement croissante sur ℝ.

💡 Astuce mémo

Signe de la pente, sens de variation

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Une fonction associe une seule image à chaque nombre, mais un même nombre peut avoir plusieurs antécédents.
2. L’image de 2 est 5, tandis que 2 est un antécédent de 5.
3. Dans le couple (x ; f(x)), x est l’abscisse et f(x) est l’ordonnée.
4. Les solutions sont les antécédents de k, et non les ordonnées lues sur la courbe.
5. Le dénominateur est b − a, et non a − b.
6. Monotone ne signifie pas nécessairement strictement croissante ou strictement décroissante.
7. Un nombre peut posséder plusieurs antécédents, contrairement à son image qui est unique.