Hoja de repaso: Géométrie de l’espace et vecteurs

📋 Plan du Cours

1. Vecteurs de l’espace : définition et égalité
2. Somme et produit d’un vecteur par un réel
3. Combinaison linéaire et indépendance linéaire
4. Droite de l’espace : caractérisation vectorielle
5. Plan de l’espace : caractérisation vectorielle
6. Vecteurs coplanaires et caractérisation
7. Positions relatives droites et plans
8. Bases et repères de l’espace
9. Représentations paramétriques d’une droite
10. Géométrie repérée et systèmes linéaires

📖 1. Vecteurs de l’espace : définition et égalité

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur de l’espace : Un vecteur de l’espace est défini par une direction, un sens et une norme, associé à deux points distincts M et M’.
• Translation de vecteur : Une translation de vecteur est le déplacement qui envoie un point M sur un point M’.
• Direction d’un vecteur : La direction d’un vecteur est celle de la droite passant par ses deux points d’origine et d’arrivée.
• Sens d’un vecteur : Le sens d’un vecteur indique l’orientation du déplacement, de M vers M’.
• Norme d’un vecteur : La norme d’un vecteur est la longueur du segment reliant ses deux points, notée MM’.

📝 Points essentiels

• Un vecteur $\overrightarrow{MM'}$ correspond à la translation qui transforme $M$ en $M'$.
• La direction de $\overrightarrow{MM'}$ est celle de la droite $(MM')$.
• Le sens de $\overrightarrow{MM'}$ va de $M$ vers $M'$.
• La norme de $\overrightarrow{MM'}$ est la longueur $MM'$ (la distance entre les deux points).
• La translation qui laisse un point $M$ inchangé est la translation du vecteur $\overrightarrow{MM}$ (vecteur nul).
• Deux droites parallèles ont la même direction, tandis que deux droites sécantes n’ont pas la même direction.

💡 Astuce mémo

Direction = droite (MM’), Sens = flèche (M→M’), Norme = longueur (MM’).

📖 2. Somme et produit d’un vecteur par un réel

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur nul : Vecteur dont la translation laisse un point inchangé, et dont la norme vaut 0.
• Égalité de deux vecteurs : Deux vecteurs sont égaux s’ils ont la même direction, le même sens et la même norme.
• Relation de Chasles : Règle reliant des vecteurs consécutifs : le vecteur total est la somme des vecteurs intermédiaires.
• Produit d’un vecteur par un réel : Opération qui transforme un vecteur en un autre vecteur en conservant ou inversant le sens selon le signe de k et en changeant la norme par |k|.

📝 Points essentiels

• Deux droites parallèles ont la même direction, tandis que deux droites sécantes n’ont pas la même direction.
• La translation qui envoie M sur M’ définit le vecteur M M’ et celle qui envoie M sur lui-même correspond au vecteur nul 0.
• Si une même translation envoie M sur M’ et N sur N’, alors les vecteurs M M’ et N N’ sont égaux.
• Pour tout vecteur u et tout point O, il existe un unique point M tel que O M = u.
• Pour tous points A, B et C, on a A B + B C = A C (relation de Chasles).
• Pour la somme, on peut aussi utiliser la règle du parallélogramme : A B + A C = A D si et seulement si A B D C est un parallélogramme.

💡 Astuce mémo

Chasles = « du début au bout » : AB + BC = AC ; Parallélogramme = « deux côtés, même diagonale » : AB + AC = AD.

📖 3. Combinaison linéaire et indépendance linéaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiplication scalaire : Multiplication d’un vecteur $\vec u$ par un réel $k$ donnant un vecteur $k\vec u$ dont la direction est celle de $\vec u$, le sens dépend du signe de $k$, et la norme vaut $|k|\,\|\vec u\|$.
• Vecteur nul : Vecteur dont la norme est nulle, noté $\vec 0$, et qui vérifie notamment $0\vec u=\vec 0$ pour tout vecteur $\vec u$.
• Combinaison linéaire : Expression d’un vecteur $\vec v$ sous la forme $\vec v=k_1\vec u_1+k_2\vec u_2+\cdots+k_n\vec u_n$ avec des réels $k_i$ et des vecteurs $\vec u_i$.
• Indépendance linéaire : Propriété de vecteurs $\vec u_1,\dots,\vec u_n$ quand aucun d’eux ne peut s’écrire comme combinaison linéaire des autres $n-1$.

📝 Points essentiels

• Si $k>0$, le vecteur $k\vec u$ a le même sens que $\vec u$, et si $k<0$ il a le sens contraire.
• La norme vérifie $\|k\vec u\|=|k|\,\|\vec u\|$ pour tout réel $k$ et tout vecteur $\vec u$.
• Pour tout vecteur $\vec u$, on a $0\vec u=\vec 0$ et aussi $k\vec 0=\vec 0$ pour tout réel $k$.
• Les calculs respectent les règles analogues au calcul numérique : $(k+k')\vec u=k\vec u+k'\vec u$ et $(kk')\vec u=k(k'\vec u)$.
• On a la distributivité : $k(\vec u+\vec v)=k\vec u+k\vec v$ et aussi $k\vec u+\vec v=k\vec u+1\vec v$.
• Condition d’annulation : $k\vec u=\vec 0$ équivaut à $k=0$ ou $\vec u=\vec 0$.

💡 Astuce mémo

Sens et norme : $k$ règle le sens (signe) et $|k|$ règle la taille (norme).

📖 4. Droite de l’espace : caractérisation vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs colinéaires : Deux vecteurs sont colinéaires si l’un est un multiple réel de l’autre, donc il existe un réel $k$ tel que $u=k v$ (ou $v=k' u$).
• Coefficients de colinéarité : Les coefficients de colinéarité sont les réels $k$ et $k'$ qui relient deux vecteurs colinéaires via $u=k v$ ou $v=k' u$.
• Droite (AB) : La droite passant par deux points distincts $A$ et $B$ est l’ensemble des points $M$ tels que le vecteur $\overrightarrow{AM}$ soit un multiple réel de $\overrightarrow{AB}$.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite est un vecteur non nul porté par cette droite, permettant d’exprimer tous les points $M$ comme $\overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{u}$.
• Droite $d(A;u)$ : Une droite est notée $d(A;u)$ lorsqu’elle est définie par un point $A$ et un vecteur directeur $u$.

📝 Points essentiels

• Deux vecteurs colinéaires vérifient $u=k v$ ou $v=k' u$ pour certains réels, ce qui traduit qu’ils ont la même direction.
• Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur car $0=0\times u$.
• Si $k\neq 0$ et $u=k v$, alors $k'=\frac{1}{k}$ relie aussi $v$ à $u$.
• Les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont parallèles si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont colinéaires.
• Trois points $A,B,C$ sont alignés si et seulement si $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ sont colinéaires.
• Par deux points distincts $A$ et $B$, il existe une unique droite $(AB)$ et elle contient tous les points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{AB}$.

💡 Astuce mémo

Colinéaire = même direction : $u=k v$ ; Alignement/Parallélisme = colinéarité des vecteurs issus d’un même point (ou des vecteurs de direction).

📖 5. Plan de l’espace : caractérisation vectorielle

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite d(A; u) : Une droite est caractérisée par un point A et un vecteur directeur u, notée d(A; u).
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur d’une droite indique une direction de la droite et peut être multiplié par un réel non nul sans changer la droite.
• Plan (ABC) : Un plan est l’ensemble des points M tels que AM s’écrit comme combinaison linéaire de AB et AC avec des coefficients réels x et y.
• Direction (AB; AC) : La direction d’un plan (ABC) est donnée par le couple de vecteurs directeurs (AB; AC).
• Plan P(A; u; v) : Un plan peut aussi être décrit par un point A et deux vecteurs non colinéaires u et v, noté P(A; u; v) ou (A; u; v).

📝 Points essentiels

• Par deux points distincts de l’espace, il passe une unique droite.
• Si u est un vecteur directeur de d, alors tout vecteur k u avec k ∈ ℝ* est aussi un vecteur directeur de la même droite.
• Si A, B, C sont non alignés, le plan (ABC) est défini par AM = x AB + y AC avec x, y ∈ ℝ.
• Si deux points distincts A et B appartiennent à un plan P, alors la droite (AB) est incluse dans P.
• Un plan est défini par un point A et deux vecteurs non colinéaires u et v, et un point M appartient à P(A; u; v) ssi il existe x, y ∈ ℝ tels que AM = x u + y v.

💡 Astuce mémo

Droite : 1 point + 1 direction ; Plan : 1 point + 2 directions non colinéaires (AM = x u + y v).

📖 6. Vecteurs coplanaires et caractérisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteurs coplanaires : Vecteurs coplanaires : leurs représentants de même origine ont leurs extrémités dans un même plan passant par cette origine.
• Représentants de même origine : Représentants de même origine : vecteurs tracés à partir d’un même point O pour comparer leur coplanarité via le plan des extrémités.
• Combinaison linéaire : Combinaison linéaire : écriture d’un vecteur comme somme de plusieurs vecteurs pondérés par des réels.
• Condition de dépendance linéaire : Condition de dépendance linéaire : existence de réels non tous nuls rendant une combinaison linéaire nulle.

📝 Points essentiels

• Si u=OA, v=OB et w=OC, alors u, v et w sont coplanaires ⇔ les points O, A, B, C sont dans un même plan.
• u et v non colinéaires : u, v et w sont coplanaires ⇔ il existe a et b tels que w=a u + b v.
• u, v et w coplanaires ⇔ il existe a, b, c réels non tous nuls tels que a u + b v + c w = 0.
• Négation : u, v et w ne sont pas coplanaires ⇔ si a u + b v + c w = 0 alors a=b=c=0.
• Deux vecteurs sont toujours coplanaires, mais deux droites ne le sont pas toujours (la coplanarité de droites est une propriété géométrique distincte).
• Comparaison : dans le plan, deux droites non parallèles sont sécantes ; dans l’espace, deux droites non coplanaires ne sont ni parallèles ni sécantes.

💡 Astuce mémo

Coplanarité = “extrémités dans un même plan” ; test algébrique : w=a u + b v (u,v non colinéaires) ou a u + b v + c w = 0 avec (a,b,c) non tous nuls.

📖 7. Positions relatives droites et plans

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites coplanaires : Deux droites sont coplanaires si elles peuvent être tracées dans un même plan de l’espace.
• Droites sécantes : Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un point unique.
• Droites parallèles : Deux droites parallèles sont deux droites qui ne se coupent pas et qui gardent la même direction dans l’espace.
• Droite parallèle à un plan : Une droite est parallèle à un plan quand son vecteur directeur est colinéaire à un vecteur directeur du plan.
• Plans parallèles : Deux plans sont parallèles lorsqu’ils ont la même direction, donc pas de point commun.

📝 Points essentiels

• Dans le plan, deux droites non parallèles sont sécantes, tandis que dans l’espace, deux droites non coplanaires ne sont ni parallèles ni sécantes.
• Soient A, B, C et D quatre points distincts : les droites (AB) et (CD) sont coplanaires si les points A, B, C et D sont coplanaires.
• Deux droites sont coplanaires si et seulement si elles sont sécantes ou parallèles.
• Si deux droites sont non coplanaires, alors leur intersection est vide.
• Une droite d vecteur directeur w est parallèle au plan P(C; v; w) si u, v et w sont coplanaires (équivalemment si d admet un vecteur directeur colinéaire à un vecteur directeur du plan).
• Si une droite n’est pas parallèle à un plan, alors elle a un unique point d’intersection avec ce plan.

💡 Astuce mémo

Plan : non parallèles ⇒ sécantes ; Espace : non coplanaires ⇒ intersection vide.

📖 8. Bases et repères de l’espace

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de l’espace : Une base de l’espace est un triplet de vecteurs non coplanaires, noté (\vec i; \vec j; k).
• Coordonnées d’un vecteur : Les coordonnées d’un vecteur u dans une base sont le triplet (x; y; z) tel que u s’écrive comme combinaison linéaire des vecteurs de la base.
• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est constitué d’un point O et d’une base (\vec i; \vec j; k), noté (O; \vec i; \vec j; k).
• Théorème du toit : Le théorème du toit décrit l’orientation de la droite d’intersection de deux plans contenant des droites parallèles entre elles.

📝 Points essentiels

• Deux plans non parallèles sont sécants : leur intersection est une droite.
• Si deux plans sont parallèles, tout plan coupant l’un coupe l’autre et les droites d’intersection sont parallèles.
• Théorème du toit : si P et P’ contiennent respectivement deux droites d et d’ parallèles entre elles, alors leur intersection Δ est parallèle à ces droites.
• Dans une base (\vec i; \vec j; k), tout vecteur u s’écrit de façon unique u = x\vec i + y\vec j + zk avec x, y, z réels.
• Dans une base, u = u’ si et seulement si leurs coordonnées sont identiques : x=x’, y=y’, z=z’.
• Dans une base, si u a pour coordonnées (x; y; z) et u’ pour (x’; y’; z’), alors u+u’ a pour coordonnées (x+x’; y+y’; z+z’) et ku a pour coordonnées (kx; ky; kz).

💡 Astuce mémo

Toit = intersection parallèle : deux plans avec deux droites parallèles → la droite d’intersection suit ces droites.

📖 9. Représentations paramétriques d’une droite

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère de l’espace : Un repère de l’espace est un triplet de vecteurs directeurs associés à un point O qui permet d’exprimer tout point M par une combinaison linéaire.
• Coordonnées d’un point : Les coordonnées d’un point M dans un repère sont les réels (x,y,z) tels que $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+zk$.
• Vecteur directeur : Un vecteur directeur est un vecteur non nul qui fixe la direction d’une droite dans l’espace.
• Droite paramétrée : Une droite paramétrée est l’ensemble des points M obtenus en faisant varier un réel t dans une expression du type $x=x_A+at$, $y=y_A+bt$, $z=z_A+ct$.

📝 Points essentiels

• Changer l’ordre des vecteurs d’un repère modifie le repère et donc les coordonnées des points.
• Pour tout point M, il existe un unique triplet (x,y,z) tel que $\overrightarrow{OM}=x\vec i+y\vec j+zk$.
• Si $A(x_A,y_A,z_A)$ et $B(x_B,y_B,z_B)$, alors $\overrightarrow{AB}$ a pour coordonnées $(x_B-x_A,\,y_B-y_A,\,z_B-z_A)$.
• Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si leurs coordonnées sont proportionnelles.
• Pour $d$ passant par $A$ et de vecteur directeur $u=(a,b,c)$, un point $M(x,y,z)$ appartient à $d$ ssi il existe un réel $t$ tel que $x=x_A+at$, $y=y_A+bt$ et $z=z_A+ct$.
• Pour montrer que deux vecteurs de coordonnées sont colinéaires, on cherche un réel $k$ tel que chaque coordonnée soit multipliée par $k$ (proportionnalité coordonnée à coordonnée).

💡 Astuce mémo

Paramétrique = « direction + départ » : $M=A+t\,u$ (on ajoute $t$ fois le vecteur directeur aux coordonnées du point A).

📖 10. Géométrie repérée et systèmes linéaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur directeur : Un vecteur directeur caractérise l’orientation d’une droite dans l’espace, c’est lui qui indique la direction des points alignés.
• Représentation paramétrique d’une droite : Une représentation paramétrique décrit une droite comme l’ensemble des points obtenus en faisant varier un paramètre réel dans des équations de coordonnées.
• Paramètre t : Le paramètre $t$ est la variable réelle qui, en changeant de valeur, donne les coordonnées successives des points de la droite.
• Système S : Le système $S$ est l’écriture des équations paramétriques reliant les coordonnées $(x,y,z)$ au paramètre $t$ pour décrire la droite.

📝 Points essentiels

• Un point $M(x;y;z)$ appartient à la droite passant par $A(x_A;y_A;z_A)$ et de vecteur directeur $(a;b;c)$ ssi il existe $t\in\mathbb{R}$ tel que $x=x_A+at$, $y=y_A+bt$, $z=z_A+ct$.
• Dans le système paramétrique, $a,b,c$ sont des réels non tous nuls, sinon on ne définirait pas une direction de droite.
• Le système $S$ avec $t\in\mathbb{R}$ décrit exactement la droite : ses solutions $(x,y,z)$ sont les points de la droite.
• Chaque valeur de $t$ correspond à un point unique de la droite, et réciproquement chaque point de la droite admet une valeur de $t$.
• Une droite admet une infinité de représentations paramétriques : changer le point $A$ ou le vecteur directeur $(a,b,c)$ (tout en restant dans la même direction) produit une autre écriture paramétrique.
• En géométrie repérée dans l’espace, de nombreux exercices conduisent à résoudre un système de trois équations à trois inconnues, souvent via une méthode de substitution.

💡 Astuce mémo

Appartenance à la droite = “même $t$” : $x=x_A+at$, $y=y_A+bt$, $z=z_A+ct$ (si un même $t$ marche, alors $M$ est sur la droite).

⚠️ Pièges & confusions fréquents

1. Confondre direction et sens : deux vecteurs peuvent avoir la même direction mais un sens opposé si le sens va de M vers M’ ou de M’ vers M.
2. Penser que l’égalité de deux vecteurs dépend seulement de la norme : en réalité il faut même direction, même sens et même norme.
3. Utiliser la relation de Chasles dans le mauvais ordre : retenir AB + BC = AC, pas AC + BC = AB.
4. Croire que k·u change toujours le sens : seul le signe de k détermine le sens (k>0 même sens, k<0 sens contraire).
5. Oublier la condition d’annulation : k·u = 0 équivaut à k=0 ou u=0, pas forcément k=0.
6. Mélanger colinéarité et coplanarité : deux vecteurs sont toujours coplanaires, mais deux droites peuvent ne pas être coplanaires.
7. Pour la paramétrique, oublier que t doit être le même dans les trois équations : si x et y donnent deux t différents, le point n’est pas sur la droite.

✅ Checklist Examen

1. Définir un vecteur de l’espace par direction, sens et norme, et identifier le vecteur nul comme celui associé à la translation qui laisse un point inchangé.
2. Énoncer le critère d’égalité de deux vecteurs : même direction, même sens, même norme, et justifier via une translation envoyant M→M’ et N→N’.
3. Utiliser la relation de Chasles pour calculer une somme de vecteurs : AB + BC = AC, et/ou la règle du parallélogramme AB + AC = AD (si parallélogramme).
4. Appliquer le produit d’un vecteur par un réel : direction conservée, sens selon le signe de k, norme multipliée par |k|, et vérifier 0·u = k·0 = 0.
5. Effectuer des calculs de vecteurs en respectant les règles analogues au calcul numérique : distributivité, associativité, et priorités (multiplication avant addition).
6. Écrire une combinaison linéaire et tester l’indépendance linéaire avec la condition : k1u1+…+knun=0 implique k1=…=kn=0.
7. Caractériser une droite de l’espace : (AB) = {M | AM = k·AB} et reconnaître qu’une droite est d(A;u) avec u vecteur directeur non nul.
8. Déterminer si trois points sont alignés ou si deux droites sont parallèles via la colinéarité des vecteurs correspondants.
9. Caractériser un plan : (ABC) = {M | AM = x·AB + y·AC} et reconnaître la forme P(A;u;v) avec u et v non colinéaires.
10. Tester la coplanarité de trois vecteurs : soit w = a u + b v (si u,v non colinéaires), soit a u + b v + c w = 0 avec (a,b,c) non tous nuls.
11. Résoudre les positions relatives : droites coplanaires ⇔ sécantes ou parallèles, intersection vide si non coplanaires, et droite parallèle à un plan ⇔ vecteur directeur colinéaire à un vecteur directeur du plan.
12. Utiliser les repères et coordonnées : écrire u = x i + y j + z k, calculer AB en coordonnées (xB−xA, yB−yA, zB−zA), et appliquer la paramétrique d’une droite avec un même t dans x=xA+at, y=yA+bt, z=zA+ct.