Sa norme, sa direction et son sens
Explicación
Un vecteur du plan est défini par sa norme, sa direction et son sens. L’origine et l’extrémité servent à le représenter, mais ne suffisent pas à le caractériser à elles seules.
Le vecteur nul
Explicación
Le vecteur \u2192AA correspond à un déplacement d’un point vers lui-même, donc c’est le vecteur nul. Sa norme est 0.
Ils ont la même direction, le même sens et la même norme
Explicación
Deux vecteurs égaux ont exactement les mêmes caractéristiques géométriques : direction, sens et norme. Avoir seulement la même direction relève de la colinéarité.
Le vecteur qui a la même direction, la même norme et le sens contraire
Explicación
Le vecteur opposé conserve la direction et la norme de \u007eu, mais son sens est inversé. On a alors \u007eu + (−\u007eu) = \u21920.
\u2192AB + \u2192BC = \u2192AC
Explicación
La relation de Chasles relie deux vecteurs successifs au vecteur direct : \u2192AB + \u2192BC = \u2192AC. C’est l’écriture fondamentale de la composition des déplacements.
Le quadrilatère ABDC est un parallélogramme
Explicación
Cette écriture implique que \u2192CD = \u2192AB, donc les côtés opposés correspondants sont égaux : ABDC est un parallélogramme. Les autres propositions ne découlent pas de cette égalité.
La direction est conservée et le sens est inversé
Explicación
Si k est négatif, le vecteur k\u007eu garde la même direction que \u007eu mais prend le sens contraire. Sa norme est multipliée par |k|.
k(\u007eu + \u007ev) = k\u007eu + k\u007ev
Explicación
Le produit par un réel est distributif sur la somme : k(\u007eu + \u007ev) = k\u007eu + k\u007ev. C’est une propriété de calcul essentielle.
Lorsqu’il existe un réel k tel que \u007eu = k\u007ev
Explicación
Deux vecteurs non nuls sont colinéaires s’ils sont proportionnels, c’est-à-dire s’il existe un réel k tel que \u007eu = k\u007ev. Cela équivaut à avoir la même direction.
Il est colinéaire à tout vecteur
Explicación
Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan. C’est un cas particulier important dans les raisonnements de parallélisme et d’alignement.
[1m[0m\(\vec u = x\,\vec i + y\,\vec j\)[0m
Explicación
Dans une base orthonormée, tout vecteur s’écrit de façon unique \(\vec u = x\,\vec i + y\,\vec j\). Les coefficients \(x\) et \(y\) sont précisément ses coordonnées.
Ils ont la même direction, éventuellement avec un sens différent
Explicación
Deux vecteurs colinéaires sont portés par une même direction ; leur sens peut être identique ou opposé. Ils ne sont pas forcément égaux, car l’égalité impose aussi la même norme et le même sens.
\((0 ; 0)\)
Explicación
Le vecteur nul s’écrit \(\vec 0 = 0\,\vec i + 0\,\vec j\), donc ses coordonnées sont \((0 ; 0)\).
\((kx ; ky)\)
Explicación
Multiplier un vecteur par un réel multiplie chacune de ses coordonnées par ce réel. On obtient donc \(k\vec u\) de coordonnées \((kx ; ky)\).
\((x_B - x_A ; y_B - y_A)\)
Explicación
Les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) s’obtiennent en faisant la différence des coordonnées de B et de A : \((x_B-x_A ; y_B-y_A)\). L’option inverse correspond à \(\overrightarrow{BA}\).
\(\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\)
Explicación
La norme d’un vecteur correspond à la distance entre ses extrémités, donc on applique Pythagore aux différences de coordonnées. On obtient \(\|\overrightarrow{AB}\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}\).
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Vecteur — définition ?
Segment orienté caractérisé par norme, direction, sens.
Vecteur nul — propriété ?
Norme zéro, pas de direction ni sens.
Égalité de vecteurs — condition ?
Même direction, sens et norme.
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