Introduction à la dérivation et à ses applications

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé
2. Dérivabilité en un point
3. Fonction dérivée
4. Tangente à la courbe
5. Dérivées usuelles
6. Opérations sur dérivées
7. Polynômes degré 2
8. Forme canonique
9. Discriminant
10. Sommet parabole
11. Signes du trinôme
12. Résolution équation quadratique

📖 1. Nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement 𝜏(ℎ) : Fonction définie par 𝜏(ℎ) = (𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)) / ℎ, où ℎ ≠ 0 et 𝑎 + ℎ ∈ 𝐼. Il mesure la variation moyenne de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ.
• Nombre dérivé 𝑓′(𝑎) : Limite du taux d’accroissement quand ℎ tend vers 0, c’est-à-dire 𝑓′(𝑎) = limₕ→0 𝜏(ℎ). Selon ALEXANDROFF (date), c’est la limite de la variation moyenne en un point, représentant la pente de la tangente à la courbe en 𝑎.
• Condition d’existence du nombre dérivé : La limite limₕ→0 𝜏(ℎ) doit exister et être unique. La dérivabilité en 𝑎 nécessite que cette limite soit finie et indépendante du sens de ℎ.
• Notation du nombre dérivé : 𝑓′(𝑎) ou 𝑑𝑓/𝑑𝑥 |ₐ, indiquant la pente de la tangente à la courbe en 𝑎.
• Exemple de calcul (𝑓(𝑥) = 3𝑥² en 2) :
  1. Calcul du taux d’accroissement : 𝜏(ℎ) = (3(2 + ℎ)² − 3×2²) / ℎ = (3(4 + 4ℎ + ℎ²) − 12) / ℎ = (12 + 12ℎ + 3ℎ² − 12) / ℎ = (12ℎ + 3ℎ²) / ℎ = 12 + 3ℎ.
  2. Limite quand ℎ→0 : limₕ→0 (12 + 3ℎ) = 12.
  3. Donc, 𝑓′(2) = 12.

📝 Points essentiels