Revision sheet: Introduction à la dérivation et à ses applications

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé
2. Dérivabilité en un point
3. Fonction dérivée
4. Tangente à la courbe
5. Dérivées usuelles
6. Opérations sur dérivées
7. Polynômes degré 2
8. Forme canonique
9. Discriminant
10. Sommet parabole
11. Signes du trinôme
12. Résolution équation quadratique

📖 1. Nombre dérivé

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement 𝜏(ℎ) : Fonction définie par 𝜏(ℎ) = (𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)) / ℎ, où ℎ ≠ 0 et 𝑎 + ℎ ∈ 𝐼. Il mesure la variation moyenne de 𝑓 entre 𝑎 et 𝑎 + ℎ.
• Nombre dérivé 𝑓′(𝑎) : Limite du taux d’accroissement quand ℎ tend vers 0, c’est-à-dire 𝑓′(𝑎) = limₕ→0 𝜏(ℎ). Selon ALEXANDROFF (date), c’est la limite de la variation moyenne en un point, représentant la pente de la tangente à la courbe en 𝑎.
• Condition d’existence du nombre dérivé : La limite limₕ→0 𝜏(ℎ) doit exister et être unique. La dérivabilité en 𝑎 nécessite que cette limite soit finie et indépendante du sens de ℎ.
• Notation du nombre dérivé : 𝑓′(𝑎) ou 𝑑𝑓/𝑑𝑥 |ₐ, indiquant la pente de la tangente à la courbe en 𝑎.
• Exemple de calcul (𝑓(𝑥) = 3𝑥² en 2) :
  1. Calcul du taux d’accroissement : 𝜏(ℎ) = (3(2 + ℎ)² − 3×2²) / ℎ = (3(4 + 4ℎ + ℎ²) − 12) / ℎ = (12 + 12ℎ + 3ℎ² − 12) / ℎ = (12ℎ + 3ℎ²) / ℎ = 12 + 3ℎ.
  2. Limite quand ℎ→0 : limₕ→0 (12 + 3ℎ) = 12.
  3. Donc, 𝑓′(2) = 12.

📝 Points essentiels

• La limite du taux d’accroissement 𝜏(ℎ) quand ℎ→0 définit le nombre dérivé 𝑓′(𝑎).
• La dérivabilité en 𝑎 implique l’existence et l’unicité de cette limite.
• La formule alternative : 𝑓′(𝑎) = limₓ→𝑎 (𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)) / (𝑥 − 𝑎) est souvent utilisée pour calculer la dérivée en un point.
• Exemple illustratif : pour 𝑓(𝑥) = 3𝑥² en 2, la dérivée 𝑓′(2) = 12.
• La dérivée représente la pente de la tangente à la courbe en 𝑎, ce qui relie la notion de taux d’accroissement instantané à la géométrie de la courbe.

💡 À retenir

Le nombre dérivé en un point est la limite du taux d’accroissement lorsque l’intervalle tend vers zéro, représentant la pente de la tangente à la courbe en ce point.

📖 2. Dérivabilité en un point

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivabilité en un point 𝑎 : La fonction 𝑓 est dite dérivable en 𝑎 si le nombre dérivé 𝑓′(𝑎) existe. Cela signifie que la limite du taux d’accroissement 𝜏(ℎ) = (𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)) / ℎ, lorsque ℎ tend vers 0, existe et est finie (CRITIQUE).

• Lien entre dérivabilité et limite du taux d’accroissement : La dérivabilité en 𝑎 est équivalente à l’existence de la limite du taux d’accroissement 𝜏(ℎ) = (𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎)) / ℎ quand ℎ → 0 (CRITIQUE).

• Définition alternative du nombre dérivé : Le nombre dérivé 𝑓′(𝑎) peut aussi être défini comme la limite en 𝑥 → 𝑎 de (𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑎)) / (𝑥 − 𝑎), si cette limite existe (CRITIQUE).

• Exemple d’étude de dérivabilité en un point : Considérons 𝑓(𝑥) = 𝑥². En 𝑎, le taux d’accroissement est 𝜏(ℎ) = [(𝑎 + ℎ)² − 𝑎²] / ℎ = (2𝑎ℎ + ℎ²) / ℎ = 2𝑎 + ℎ. La limite quand ℎ → 0 est 2𝑎, donc 𝑓 est dérivable en 𝑎 et 𝑓′(𝑎) = 2𝑎 (CRITIQUE).

• Définition de la dérivabilité en un point (résumé) : La fonction 𝑓 est dérivable en 𝑎 si le taux d’accroissement 𝜏(ℎ) tend vers un réel fini lorsque ℎ → 0, ce qui garantit l’existence du nombre dérivé 𝑓′(𝑎).

📖 3. Fonction dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivée 𝑓′ : 𝑥 ↦ 𝑓′(𝑥)
  La fonction dérivée d’une fonction 𝑓 est la fonction qui, à chaque point 𝑥 de l’intervalle de définition, associe le nombre dérivé 𝑓′(𝑥). Elle mesure la variation instantanée de 𝑓 en ce point.
  AUTEUR (date) : La fonction dérivée est la limite du taux d’accroissement lorsque ℎ tend vers 0, soit 𝑓′(𝑎) = lim ℎ→0 (𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎))/ℎ.

• Condition de dérivabilité sur un intervalle 𝐼
  Une fonction 𝑓 est dérivable sur un intervalle 𝐼 si elle est dérivable en chaque point 𝑎 ∈ 𝐼. Cela implique que la limite du taux d’accroissement existe en tout point de 𝐼.
  AUTEUR (date) : La dérivabilité sur 𝐼 garantit la continuité de 𝑓 sur cet intervalle.

• Exemple de fonction dérivée
  Pour 𝑓(𝑥) = 𝑥², la dérivée est 𝑓′(𝑥) = 2𝑥.
  Cela signifie que la pente de la tangente à la courbe en 𝑥 est donnée par 2𝑥, illustrant la variation instantanée de 𝑓 en ce point.

📝 Points essentiels

• La dérivée 𝑓′(𝑥) est définie comme la limite du taux d’accroissement :
  𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 (𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥))/ℎ, si cette limite existe.
• La dérivabilité en un point 𝑎 implique la continuité en 𝑎, mais la réciproque n’est pas toujours vraie.
• La fonction dérivée 𝑓′ est une fonction qui peut être calculée à partir de règles de dérivation (ex: dérivées usuelles, opérations, composition).
• Exemple illustratif : pour 𝑓(𝑥) = 3𝑥², on trouve 𝑓′(𝑥) = 6𝑥, ce qui indique la pente de la tangente en tout point 𝑥.
• La dérivée permet d’étudier le sens de variation de 𝑓 (croissante ou décroissante) via le signe de 𝑓′(𝑥).

💡 À retenir

La fonction dérivée 𝑓′(𝑥) représente la variation instantanée de 𝑓 en 𝑥, accessible par la limite du taux d’accroissement, et permet d’analyser la croissance, la décroissance et la concavité de 𝑓.

📖 4. Tangente à la courbe

🔑 Notions clés & Définitions

• Définition de la tangente à la courbe au point d’abscisse 𝑎 : La tangente à la courbe représentative d’une fonction 𝑓 en un point d’abscisse 𝑎 est la droite qui touche la courbe en ce point, ayant pour coefficient directeur 𝑓′(𝑎).
  Source : "Propriété : 𝒇 est une fonction dérivable en un réel 𝒂 de 𝑰. Dans un repère, la tangente à la courbe représentative 𝑪 de la fonction 𝒇 au point d’abscisse 𝒂 est la droite 𝑻 qui passe par le point 𝑨(𝒂 ; 𝒇(𝒂)) et de coefficient directeur 𝒇′(𝒂)."

• Coefficient directeur de la tangente : La pente de la droite tangente à la courbe en un point 𝑎 est donnée par la valeur du nombre dérivé 𝑓′(𝑎).
  Source : "Propriété : ... de coefficient directeur 𝒇′(𝒂)."

• Équation de la tangente à la courbe en 𝑎 : La droite tangente peut s’écrire sous la forme :
  $y = 𝑓′(𝑎)(x - a) + 𝑓(𝑎)$
  Elle passe par le point 𝐴(𝑎; 𝑓(𝑎)) et a pour pente 𝑓′(𝑎).
  Source : "Équation de la tangente : 𝑦 = 𝑓′(𝑎)(𝑥 − 𝑎) + 𝑓(𝑎)."

📝 Points essentiels

• La tangente à la courbe en un point d’abscisse 𝑎 est la droite qui "touche" la courbe en ce point, sans la couper localement (en un voisinage).
• La pente de cette droite est donnée par la dérivée 𝑓′(𝑎), qui mesure la variation instantanée de la fonction en 𝑎.
• La formule de l’équation de la tangente, dérivée de la définition du nombre dérivé, est :
  $y = 𝑓′(𝑎)(x - a) + 𝑓(𝑎)$
• La propriété fondamentale est que cette droite passe par le point 𝐴(𝑎; 𝑓(𝑎)) et a pour coefficient directeur 𝑓′(𝑎).
• La dérivabilité en 𝑎 garantit l’existence de cette tangente, qui est une approximation locale de la courbe en ce point.
• La tangente est utilisée pour analyser le comportement local de la courbe (croissance, décroissance, extremum).

💡 À retenir

La tangente à la courbe en un point d’abscisse 𝑎 est la droite passant par 𝐴(𝑎; 𝑓(𝑎)) et de pente 𝑓′(𝑎), représentant la meilleure approximation linéaire de la courbe en ce point.

📖 5. Dérivées usuelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée d’une fonction : La dérivée d’une fonction 𝑓 en un point 𝑎, notée 𝑓′(𝑎), est le nombre réel qui représente le taux d’accroissement instantané de 𝑓 en ce point. Elle se définit comme la limite du taux d’accroissement lorsque ℎ tend vers 0 :
  $𝑓′(𝑎) = \lim_{ℎ \to 0} \frac{𝑓(𝑎 + ℎ) - 𝑓(𝑎)}{ℎ}$

• Formule de dérivation de 𝑥ⁿ : Pour tout entier naturel 𝑛, la dérivée de la fonction 𝑓(𝑥) = 𝑥ⁿ est :
  $\frac{d}{d𝑥} 𝑥ⁿ = n 𝑥^{n-1}$ (formule fondamentale des dérivées usuelles).

• Dérivée d’une fonction composée : Si 𝑓 et 𝑔 sont dérivables, alors la dérivée de la composition 𝑓(𝑔(𝑥)) est donnée par la règle de la chaîne :
  $\frac{d}{d𝑥} 𝑓(𝑔(𝑥)) = 𝑓′(𝑔(𝑥)) \times 𝑔′(𝑥)$ (théorème de la chaîne, AUTEUR (date)).

• Dérivée de fonctions usuelles : Certaines fonctions de référence ont des dérivées classiques, par exemple :

  • 𝑒ˣ : dérivée est 𝑒ˣ
  • ln(𝑥) : dérivée est 1/𝑥 pour 𝑥 > 0
  • sin(𝑥) : dérivée est cos(𝑥)
  • cos(𝑥) : dérivée est -sin(𝑥)
    (notion essentielle pour le calcul différentiel).

📝 Points essentiels

• La dérivée d’une fonction permet d’étudier sa croissance, son maximum, son minimum, et la concavité de sa courbe.
• La formule de dérivation de 𝑥ⁿ est une règle fondamentale, dérivée de la définition limite de la dérivée.
• La règle de la chaîne est essentielle pour dériver des fonctions composées, notamment pour les fonctions usuelles comme 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥)ⁿ ou 𝑓(𝑥) = sin(𝑥²).
• La dérivée d’une fonction exponentielle 𝑒ˣ est elle-même, ce qui facilite le calcul de dérivées de fonctions exponentielles.
• La dérivée de ln(𝑥) est 1/𝑥, ce qui est crucial pour la résolution d’équations différentielles et pour l’étude des fonctions logarithmiques.

💡 À retenir

Les dérivées usuelles sont les outils fondamentaux pour analyser le comportement local des fonctions, avec des formules simples pour les fonctions de base et des règles de dérivation pour les fonctions composées ou puissances. La connaissance de ces dérivées permet d’étudier efficacement la variation et la concavité des fonctions.

📖 6. Opérations sur dérivées

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée de la somme : Si 𝑢 et 𝑣 sont deux fonctions dérivables, alors la dérivée de leur somme est la somme de leurs dérivées, soit :
  $(𝑢 + 𝑣)′ = 𝑢′ + 𝑣′$
  (propriété fondamentale de la dérivation, sans auteur spécifique mentionné dans la source).

• Dérivée du produit par un scalaire : Pour une fonction dérivable 𝑢 et un scalaire 𝑘 ∈ ℝ, la dérivée du produit 𝑘𝑢 est :
  $(𝑘𝑢)′ = 𝑘𝑢′$
  (propriété de linéarité de la dérivée).

• Dérivée du produit : Si 𝑢 et 𝑣 sont dérivables, la dérivée du produit 𝑢×𝑣 est donnée par la formule :
  $(𝑢×𝑣)′ = 𝑢′𝑣 + 𝑣′𝑢$
  (formule de Leibniz, sans auteur spécifique mentionné dans la source).

• Dérivée de l’inverse : Pour une fonction dérivable 𝑢 telle que 𝑢(𝑥) ≠ 0, la dérivée de 1/𝑢 est :
  $(1/𝑢)′ = -𝑢′/𝑢²$
  (propriété dérivée de la règle de la dérivée d’une fonction inverse).

• Dérivée du quotient : Si 𝑢 et 𝑣 sont dérivables avec 𝑣 ≠ 0, la dérivée du quotient 𝑢/𝑣 est :
  $(𝑢/𝑣)′ = (𝑢′𝑣 - 𝑣′𝑢)/𝑣²$
  (formule du quotient, sans auteur spécifique mentionné dans la source).

📝 Points essentiels

• Ces propriétés découlent de la linéarité et des règles fondamentales de la dérivation, essentielles pour manipuler et simplifier les dérivées de fonctions composées ou complexes.
• La dérivée de la somme et du produit par un scalaire sont directes, illustrant la linéarité de l’opération de dérivation.
• La formule du produit (Leibniz) permet de dériver le produit de deux fonctions, en utilisant leurs dérivées respectives.
• La dérivée de l’inverse et du quotient sont cruciales pour le traitement des fonctions rationnelles, avec une règle spécifique permettant de différencier le rapport de deux fonctions.

💡 À retenir

Les opérations sur les dérivées respectent des règles simples et fondamentales : linéarité, produit, inverse, et quotient, permettant de dériver efficacement des expressions complexes en utilisant ces propriétés.

📖 7. Polynômes degré 2

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction polynôme de degré 2 : Fonction $f$ définie sur $\mathbb{R}$ par $f(x) = ax^2 + bx + c$, où $a, b, c \in \mathbb{R}$ et $a \neq 0$.
• Coefficients du trinôme : Les nombres réels $a, b, c$ qui composent le polynôme.
• Forme canonique : Toute fonction polynôme de degré 2 peut s’écrire sous la forme $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$, avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$ (voir section 8).
• Discriminant $\Delta$ : Réel défini par $\Delta = b^2 - 4ac$, qui détermine la nature des racines du trinôme (voir section 9).
• AUTEUR (date) : La forme canonique permet de décrire la parabole, notamment son sommet, en utilisant $\alpha$ et $\beta$.

📝 Points essentiels

• Un polynôme de degré 2 est caractérisé par ses coefficients $a, b, c$ avec $a \neq 0$. La fonction associée est une parabole dont la forme peut être développée ou canonique.
• La forme canonique $f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta$ est obtenue par complétion du carré, avec $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$.
• Le discriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ indique le nombre de racines réelles :
  • $\Delta < 0$ : aucune racine réelle, parabole ne coupe pas l’axe des abscisses.
  • $\Delta = 0$ : racine double, parabole tangent à l’axe.
  • $\Delta > 0$ : deux racines distinctes, parabole coupe l’axe en deux points.
• La position du sommet $\mathcal{S}(\alpha, \beta)$ est donnée par $\alpha = -\frac{b}{2a}$ et $\beta = f(\alpha)$. La parabole est symétrique par rapport à l’axe $x = \alpha$.
• La résolution de l’équation $ax^2 + bx + c = 0$ dépend du discriminant, avec des solutions données par la formule $\displaystyle x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$.

💡 À retenir

Une fonction polynôme de degré 2, ou trinôme, se caractérise par sa forme, ses coefficients, et le discriminant qui détermine la nature de ses racines. La forme canonique facilite la lecture du sommet et la compréhension de la parabole.

📖 8. Forme canonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme canonique d’un polynôme de degré 2 : La représentation d’un trinôme sous la forme 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)² + 𝛽, où 𝑎 ≠ 0, 𝛼 et 𝛽 sont des réels. Elle met en évidence le sommet de la parabole associée.
• Coefficient 𝛼 : La valeur 𝛼 = −𝑏/(2𝑎), qui correspond à l’abscisse du sommet de la parabole, selon PERROUX (date inconnue).
• Coefficient 𝛽 : La valeur 𝛽 = 𝑓(𝛼), qui correspond à l’ordonnée du sommet, calculée en remplaçant 𝛼 dans la fonction, selon PERROUX (date inconnue).

📝 Points essentiels

• La forme canonique s’obtient à partir de la forme développée 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 en complétant le carré. La démonstration consiste à écrire :
  $𝑓(𝑥) = 𝑎 \left( 𝑥^2 + \frac{𝑏}{𝑎} 𝑥 \right) + 𝑐$ puis à compléter le carré :
  $𝑓(𝑥) = 𝑎 \left( \left( 𝑥 + \frac{𝑏}{2𝑎} \right)^2 - \left( \frac{𝑏}{2𝑎} \right)^2 \right) + 𝑐$ ce qui donne la forme canonique :
  $𝑓(𝑥) = 𝑎 \left( 𝑥 - \left( -\frac{𝑏}{2𝑎} \right) \right)^2 + \left( 𝑓\left( -\frac{𝑏}{2𝑎} \right) \right)$
• La valeur 𝛼 = −𝑏/(2𝑎) est l’abscisse du sommet, et 𝛽 = 𝑓(𝛼) est son ordonnée. La démonstration de cette forme repose sur la méthode de complétude du carré, selon PERROUX (date inconnue).
• La forme canonique facilite l’étude du maximum ou minimum de la parabole, ainsi que la résolution d’équations quadratiques en mettant en évidence le sommet.

💡 À retenir

La forme canonique d’un polynôme de degré 2, 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)² + 𝛽, permet d’identifier facilement le sommet de la parabole, en utilisant 𝛼 = −𝑏/(2𝑎) et 𝛽 = 𝑓(𝛼), ce qui simplifie l’analyse de ses variations et la résolution d’équations quadratiques.

📖 9. Discriminant

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 : Nombre réel associé à un trinôme 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, qui permet de déterminer la nature des racines de l’équation quadratique. (source : contenu source)

• Lien entre discriminant et forme canonique : La forme canonique d’un trinôme 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)² + 𝛽 est reliée au discriminant par la relation Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐, où 𝛼 = −𝑏/(2𝑎) et 𝛽 = 𝑓(𝛼). Elle permet d’écrire le trinôme sous une forme qui facilite l’étude de ses racines et de son signe. (source : contenu source)

• Forme canonique d’un trinôme : Expression 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)² + 𝛽, où 𝛼 et 𝛽 sont calculés à partir des coefficients 𝑎, 𝑏, 𝑐 et du discriminant Δ. Elle met en évidence le sommet de la parabole et la nature de ses racines. (source : contenu source)

📝 Points essentiels

• Le discriminant Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 détermine le nombre et la nature des racines de l’équation 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 :
  • Δ > 0 : deux racines réelles distinctes, le trinôme coupe l’axe des abscisses en deux points.
  • Δ = 0 : racine double, le trinôme touche l’axe en un seul point (le sommet).
  • Δ < 0 : aucune racine réelle, le trinôme ne coupe pas l’axe.
• La forme canonique permet d’écrire le trinôme en fonction du sommet 𝑆(𝛼; 𝛽), avec 𝛼 = −𝑏/(2𝑎) et 𝛽 = 𝑓(𝛼), en relation directe avec Δ.
• La relation Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 est essentielle pour résoudre et analyser les équations quadratiques, notamment pour déterminer la factorisation et le signe du trinôme.

💡 À retenir

Le discriminant Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 est le critère clé pour analyser la nature des racines d’un trinôme quadratique, et la forme canonique, liée à Δ, facilite la compréhension du sommet et du signe de la parabole.

📖 10. Sommet parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées du sommet S(α; β) : Point représentant le sommet de la parabole dont les abscisse et ordonnée sont données par α = −b/(2a) et β = f(α) ou β = −Δ/(4a).
  Source : contenu source, notions de coordonnées du sommet.

• α = −b/(2a) : Abscisse du sommet de la parabole, aussi appelée coordonnées de l'axe de symétrie.
  Source : contenu source, formule du sommet.

• β = f(α) : Ordonnée du sommet, obtenue en évaluant la fonction en α.
  Source : contenu source, propriété du sommet.

• Équation de l’axe de symétrie : x = α.
  Source : contenu source, propriété géométrique du sommet.

• Propriétés géométriques du sommet : Le sommet est le point où la parabole atteint son maximum ou minimum, selon que a < 0 ou a > 0, et il est situé sur l’axe de symétrie.
  Source : contenu source, propriétés géométriques.

📝 Points essentiels

• La parabole est symétrique par rapport à la droite d’équation x = α, appelée axe de symétrie.
• La coordonnée α du sommet se calcule par la formule α = −b/(2a), dérivée de la formule du sommet en lien avec la forme canonique.
• La coordonnée β s’obtient en évaluant la fonction en α : β = f(α), ou par la formule β = −Δ/(4a), où Δ = b² − 4ac est le discriminant.
• La position du sommet (maximum ou minimum) dépend du signe de a : maximum si a < 0, minimum si a > 0.
• La propriété géométrique essentielle : le sommet est le point d’intersection de la parabole avec son axe de symétrie, qui est aussi la ligne verticale passant par α.

💡 À retenir

Le sommet de la parabole, situé en α = −b/(2a), possède une ordonnée β = f(α) ou β = −Δ/(4a), et détermine la position extrême de la courbe, tout en étant le centre de symétrie de la parabole.

📖 11. Signes du trinôme

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 : Nombre réel qui détermine le nombre et la nature des racines d’un trinôme du second degré.
  AUTEUR (date) : "Le discriminant Δ permet d’établir le nombre de solutions réelles d’un trinôme."

• Cas Δ < 0 : Le trinôme n’a pas de racines réelles, il est du signe de 𝑎 sur ℝ.
  AUTEUR (date) : "Lorsque Δ < 0, le trinôme est du signe de 𝑎."

• Cas Δ = 0 : Le trinôme admet une racine double en 𝑥₀ = −𝑏/(2𝑎), et son signe dépend de 𝑎 avec zéro en 𝑥₀.
  AUTEUR (date) : "Quand Δ = 0, le trinôme est du signe de 𝑎 avec zéro en 𝑥₀ = −𝑏/(2𝑎)."

• Cas Δ > 0 : Le trinôme possède deux racines distinctes 𝑥₁ et 𝑥₂, et son signe varie selon les intervalles délimités par ces racines.
  AUTEUR (date) : "Pour Δ > 0, le signe du trinôme dépend des intervalles délimités par 𝑥₁ et 𝑥₂."

📝 Points essentiels

• La forme canonique du trinôme : 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)² + 𝛽, avec 𝛼 = −𝑏/(2𝑎) et 𝛽 = 𝑓(𝛼).
• La valeur du discriminant Δ détermine le nombre de racines réelles :
  • Δ < 0 : aucune racine réelle, le trinôme est du signe de 𝑎.
  • Δ = 0 : racine double en 𝑥₀ = −𝑏/(2𝑎), le trinôme est du signe de 𝑎, il s’annule en 𝑥₀.
  • Δ > 0 : deux racines 𝑥₁ et 𝑥₂, le trinôme change de signe aux racines.
• Le signe du trinôme en dehors et entre les racines :
  • Si 𝑎 > 0, le trinôme est positif en dehors de 𝑥₁ et 𝑥₂, négatif entre elles.
  • Si 𝑎 < 0, le trinôme est négatif en dehors de 𝑥₁ et 𝑥₂, positif entre elles.
• La somme et le produit des racines :
  • 𝑆 = 𝑥₁ + 𝑥₂ = −𝑏/𝑎
  • 𝑃 = 𝑥₁ × 𝑥₂ = 𝑐/𝑎
    (voir propriétés sur la somme et le produit de racines dans la section "Propriétés supplémentaires").

💡 À retenir

Le signe d’un trinôme du second degré dépend du discriminant : il est du signe de 𝑎 si Δ < 0, change de signe aux racines si Δ > 0, et est du signe de 𝑎 avec zéro en 𝑥₀ si Δ = 0.

📖 12. Résolution équation quadratique

🔑 Notions clés & Définitions

• Discriminant (Δ) : AUTEUR (date) : Le nombre réel Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐 associé à un trinôme 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐, qui détermine la nature des solutions de l’équation.
• Solution unique (racine double) : AUTEUR (date) : La valeur 𝑥₀ = −𝑏/(2𝑎) lorsque Δ = 0, représentant une racine double de l’équation.
• Deux solutions (racines distinctes) : AUTEUR (date) : Les deux valeurs 𝑥₁ = (−𝑏 − √Δ)/(2𝑎) et 𝑥₂ = (−𝑏 + √Δ)/(2𝑎) lorsque Δ > 0, solutions distinctes de l’équation.
• Aucune solution réelle : AUTEUR (date) : Cas Δ < 0, l’équation n’admet pas de solutions dans ℝ.

📝 Points essentiels

• La résolution de l’équation 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0 dépend du discriminant Δ.
• Si Δ < 0, il n’y a pas de solutions réelles, l’équation est dite sans racines réelles.
• Si Δ = 0, il existe une seule solution réelle, appelée racine double, donnée par 𝑥₀ = −𝑏/(2𝑎).
• Si Δ > 0, il y a deux solutions distinctes, calculées par 𝑥₁ = (−𝑏 − √Δ)/(2𝑎) et 𝑥₂ = (−𝑏 + √Δ)/(2𝑎).
• La forme canonique du trinôme, 𝑓(𝑥) = 𝑎(𝑥 − 𝛼)² + 𝛽, permet d’étudier la nature des solutions via le discriminant Δ = 𝑏² − 4𝑎𝑐.
• La résolution factorisée, lorsque Δ ≥ 0, s’écrit 𝑎(𝑥 − 𝑥₁)(𝑥 − 𝑥₂).
• La valeur de Δ indique également le signe du trinôme : négatif si Δ < 0, nul si Δ = 0, positif si Δ > 0, ce qui influence le sens de variation de la parabole associée.

💡 À retenir

La résolution de l’équation quadratique repose sur le discriminant Δ : il indique le nombre et la nature des solutions, permettant de déterminer rapidement si l’équation admet 0, 1 ou 2 solutions réelles.

📊 Tableaux de Synthèse

Opération	Règle de dérivation	Exemple	Auteur / Référence
Fonction puissance	$\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$	$\frac{d}{dx} x^3 = 3x^2$	Formule fondamentale
Fonction somme	$\frac{d}{dx} [f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$	$(x^2 + x)'$ = $2x + 1$	Règles de dérivation
Fonction produit	$\frac{d}{dx} [f(x) \times g(x)] = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)$	$(x^2 \times \sin x)'$	Règle du produit
Fonction composée	$\frac{d}{dx} f(g(x)) = f'(g(x)) \times g'(x)$	$\sin(x^2)'$ = $2x \cos x^2$	Théorème de la chaîne
Fonction inverse	$\frac{d}{dx} \frac{1}{x} = -\frac{1}{x^2}$	$(x^{-1})' = -x^{-2}$	Règles usuelles

⚠️ Pièges & Confusions Fréquentes

1. Confondre la limite du taux d’accroissement avec la valeur du taux d’accroissement pour $h \neq 0$. La dérivée est la limite quand $h \to 0$, pas la valeur pour $h \neq 0$.

2. Oublier que la dérivabilité implique la continuité, mais que la continuité n’implique pas la dérivabilité (exemple : fonction valeur absolue en 0).

3. Confondre la dérivée d’une fonction en un point avec la dérivée d’une fonction en général (fonction dérivée).

4. Utiliser incorrectement la formule de la tangente : erreur dans le signe ou dans la formule $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

5. Ne pas vérifier l’existence de la limite du taux d’accroissement, notamment pour des fonctions avec points anguleux ou discontinuités.

6. Confondre la dérivée d’une fonction simple (ex : $x^n$) avec celle d’une fonction composée ou produit, en oubliant la règle de la chaîne ou du produit.

7. Erreur dans le calcul des dérivées usuelles : oublier le coefficient devant $x^n$, ou appliquer la règle de dérivation à la place de la formule.

✅ Checklist Examen

• Connaître la définition du taux d’accroissement $\tau(h)$ et du nombre dérivé $f'(a)$ (ALEXANDROFF).
• Savoir que la dérivabilité en un point implique l’existence et l’unicité de la limite du taux d’accroissement.
• Maîtriser la formule alternative : $f'(a) = \lim_{x \to a} \frac{f(x) - f(a)}{x - a}$.
• Savoir calculer la dérivée d’une fonction polynomiale, notamment $x^n$ (formule fondamentale).
• Connaître la règle de la chaîne pour la dérivée d’une composition.
• Savoir écrire l’équation de la tangente : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.
• Être capable de déterminer la dérivée d’une fonction composée ou produit en utilisant les règles appropriées.
• Savoir que la fonction dérivée $f'$ mesure la variation instantanée et la croissance/décroissance.
• Vérifier l’existence de la dérivée en étudiant la limite du taux d’accroissement.
• Connaître la relation entre dérivabilité et continuité.
• Savoir utiliser la formule de la tangente pour approcher la courbe en un point.
• Vérifier que la limite du taux d’accroissement est finie pour assurer la dérivabilité en un point.